Закон изменения вектора скорости материальной точки имеет вид:   2 At B i Ctj        , где А = 3 м/с2 ; В = 1 м/с; С = 2 м/с2 . Получите уравнение движения r(t)  , если…

Давайте подробно разберем задачу.

Дано:

• Вектор скорости: \(\vec{v}(t) = -2At \, \vec{i} + C t \, \vec{j}\)
• Константы: \(A = 3\, м/с^2\), \(B = 1\, м/с\) (кажется, это скорость в начальный момент, но в условии показатель В не входит в выражение скорости, поэтому на него внимания не обращаем), \(C = 2\, м/с^2\).
• Начальная точка: начало координат \(\vec{r}(0) = 0\).

---

1. Записываем задание правильнее:

Вектор скорости: \(\vec{v}(t) = -2A t \, \vec{i} + C t \, \vec{j}\)

Нам нужно найти уравнение движения \(\vec{r}(t)\), то есть выразить координаты \(x(t)\) и \(y(t)\).

---

2. Выводим уравнения движения

Поскольку \(\vec{v}(t) = \frac{d \vec{r}}{dt}\), то:

\[ x(t) = \int v_x(t) \, dt + x_0 \] \[ y(t) = \int v_y(t) \, dt + y_0 \]

Где \(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\), так как движение началось из начала координат.

3. Найдем \(x(t)\)

\[ v_x(t) = -2A t \]

Подставляем \(A=3\, м/с^2\):

\[ v_x(t) = -2 \times 3 \times t = -6 t \]

Интегрируем:

\[ x(t) = \int -6 t \, dt = -6 \frac{t^2}{2} = -3 t^2 + C_x \]

Но так как в начальный момент \(t=0\), \(\vec{r}(0) = 0\), то \(x(0) = 0\), значит \(C_x = 0\).

Итого:

\[ x(t) = -3 t^2 \]

---

4. Найдем \(y(t)\)

\[ v_y(t) = C t \]

Значит, при \(C=2\, м/с^2\):

\[ v_y(t) = 2 t \]

Интегрируем:

\[ y(t) = \int 2 t \, dt = 2 \frac{t^2}{2} = t^2 + C_y \]

При \(t=0\), \(y(0)=0\), значит \(C_y=0\).

Итак:

\[ y(t) = t^2 \]

---

5. Итоговое уравнение движения

\[ \boxed{ \vec{r}(t) = x(t) \, \vec{i} + y(t) \, \vec{j} = -3 t^2 \, \vec{i} + t^2 \, \vec{j} } \]

---

6. Найдем модуль перемещения за первые 2 секунды

Перемещение — это разность начальной и конечной точек, а модуль — длина вектора \(\vec{r}(t)\).

Время: \(t=2\,\text{с}\):

\[ x(2) = -3 \times (2)^2 = -3 \times 4 = -12\, м \] \[ y(2) = (2)^2 = 4\, м \]

Значит:

\[ \vec{r}(2) = -12\, \vec{i} + 4\, \vec{j} \]

Модуль перемещения:

\[ |\vec{r}(2)| = \sqrt{(-12)^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4 \sqrt{10} \approx 12.65\, м \]

---

Ответ:

• Уравнение движения:

\[ \boxed{ \vec{r}(t) = -3 t^2 \, \vec{i} + t^2 \, \vec{j} } \]

• Модуль перемещения за 2 секунды:

\[ \boxed{ |\vec{r}(2)| \approx 12.65\, \text{м} } \]

Если нужно, могу дополнительно объяснить любой из шагов!