Давайте подробно разберем задачу.
Дано:
- Вектор скорости: (\vec{v}(t) = -2At , \vec{i} + C t , \vec{j})
- Константы: (A = 3, м/с^2), (B = 1, м/с) (кажется, это скорость в начальный момент, но в условии показатель В не входит в выражение скорости, поэтому на него внимания не обращаем), (C = 2, м/с^2).
- Начальная точка: начало координат (\vec{r}(0) = 0).
1. Записываем задание правильнее:
Вектор скорости: (\vec{v}(t) = -2A t , \vec{i} + C t , \vec{j})
Нам нужно найти уравнение движения (\vec{r}(t)), то есть выразить координаты (x(t)) и (y(t)).
2. Выводим уравнения движения
Поскольку (\vec{v}(t) = \frac{d \vec{r}}{dt}), то:
[
x(t) = \int v_x(t) , dt + x_0
]
[
y(t) = \int v_y(t) , dt + y_0
]
Где (x_0 = 0), (y_0 = 0), так как движение началось из начала координат.
3. Найдем (x(t))
[
v_x(t) = -2A t
]
Подставляем (A=3, м/с^2):
[
v_x(t) = -2 \times 3 \times t = -6 t
]
Интегрируем:
[
x(t) = \int -6 t , dt = -6 \frac{t^2}{2} = -3 t^2 + C_x
]
Но так как в начальный момент (t=0), (\vec{r}(0) = 0), то (x(0) = 0), значит (C_x = 0).
Итого:
[
x(t) = -3 t^2
]
4. Найдем (y(t))
[
v_y(t) = C t
]
Значит, при (C=2, м/с^2):
[
v_y(t) = 2 t
]
Интегрируем:
[
y(t) = \int 2 t , dt = 2 \frac{t^2}{2} = t^2 + C_y
]
При (t=0), (y(0)=0), значит (C_y=0).
Итак:
[
y(t) = t^2
]
5. Итоговое уравнение движения
[
\boxed{
\vec{r}(t) = x(t) , \vec{i} + y(t) , \vec{j} = -3 t^2 , \vec{i} + t^2 , \vec{j}
}
]
6. Найдем модуль перемещения за первые 2 секунды
Перемещение — это разность начальной и конечной точек, а модуль — длина вектора (\vec{r}(t)).
Время: (t=2,\text{с}):
[
x(2) = -3 \times (2)^2 = -3 \times 4 = -12, м
]
[
y(2) = (2)^2 = 4, м
]
Значит:
[
\vec{r}(2) = -12, \vec{i} + 4, \vec{j}
]
Модуль перемещения:
[
|\vec{r}(2)| = \sqrt{(-12)^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4 \sqrt{10} \approx 12.65, м
]
Ответ:
[
\boxed{
\vec{r}(t) = -3 t^2 , \vec{i} + t^2 , \vec{j}
}
]
- Модуль перемещения за 2 секунды:
[
\boxed{
|\vec{r}(2)| \approx 12.65, \text{м}
}
]
Если нужно, могу дополнительно объяснить любой из шагов!
