упростите выражение sin(2a+ф)+sin(2a-ф):sin(2a+ф)-sin(2a-ф)=
Рассмотрим выражение:
\[
\frac{\sin(2a + \varphi) + \sin(2a - \varphi)}{\sin(2a + \varphi) - \sin(2a - \varphi)}
\]
Шаг 1. Используем тригонометрические формулы суммы и разности синусов
Для упрощения выражения пригодятся формулы:
- \(\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}\)
- \(\sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}\)
Шаг 2. Применим эти формулы к числителю и знаменателю
Обозначим:
- \(x = 2a + \varphi\)
- \(y = 2a - \varphi\)
Тогда:
Числитель:
\[
\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}
\]
Знаменатель:
\[
\sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}
\]
Шаг 3. Вычислим \(\frac{x + y}{2}\) и \(\frac{x - y}{2}\)
- \(\frac{x + y}{2} = \frac{(2a + \varphi) + (2a - \varphi)}{2} = \frac{4a}{2} = 2a\)
- \(\frac{x - y}{2} = \frac{(2a + \varphi) - (2a - \varphi)}{2} = \frac{2 \varphi}{2} = \varphi\)
Шаг 4. Запишем полученные формулы
\[ \text{Числитель} = 2 \sin 2a \cos \varphi \] \[ \text{Знаменатель} = 2 \cos 2a \sin \varphi \]
Шаг 5. Запишем окончательный результат
Подставим выражения в исходную дробь:
\[ \frac{2 \sin 2a \cos \varphi}{2 \cos 2a \sin \varphi} \]
Упростим:
\[ \frac{\sin 2a \cos \varphi}{\cos 2a \sin \varphi} \]
Итог:
Ответ:
\[
\boxed{
\frac{\sin 2a \cos \varphi}{\cos 2a \sin \varphi}
}
\]
Это — упрощённое выражение. При необходимости его можно оставить так или представить в виде более удобного варианта (например, через тангенс), если потребуется.
Обсуждение
2 сообщенияупростите выражение sin(2a+ф)+sin(2a-ф) дробь sin(2a+ф)-sin(2a-ф)=
Давайте упростим ваше выражение:
\[
\frac{\sin(2a + \varphi) + \sin(2a - \varphi)}{\sin(2a + \varphi) - \sin(2a - \varphi)}.
\]
Шаг 1. Применим формулы суммы и разности синусов
Используем следующие тригонометрические формулы:
- \(\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right)\)
- \(\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right)\)
Обозначим:
- \(A = 2a + \varphi\)
- \(B = 2a - \varphi\)
Шаг 2. Применяем формулы
Числитель: \[ \sin(2a + \varphi) + \sin(2a - \varphi) = 2 \sin\left(\frac{(2a + \varphi) + (2a - \varphi)}{2}\right) \cos\left(\frac{(2a + \varphi) - (2a - \varphi)}{2}\right). \] \[ = 2 \sin(2a) \cos(\varphi). \]
Знаменатель: \[ \sin(2a + \varphi) - \sin(2a - \varphi) = 2 \cos\left(\frac{(2a + \varphi) + (2a - \varphi)}{2}\right) \sin\left(\frac{(2a + \varphi) - (2a - \varphi)}{2}\right) \] \[ = 2 \cos(2a) \sin(\varphi). \]
Шаг 3. Подставляем обратно в дробь
Теперь подставим полученные значения в знаменатель и числитель: \[ \frac{2 \sin(2a) \cos(\varphi)}{2 \cos(2a) \sin(\varphi)}. \]
Шаг 4. Упростим дробь
Убираем общий множитель 2: \[ = \frac{\sin(2a) \cos(\varphi)}{\cos(2a) \sin(\varphi)}. \]
Итог
Таким образом, финальное упрощённое выражение выглядит так: \[ \frac{\sin(2a) \cos(\varphi)}{\cos(2a) \sin(\varphi)}. \]
Если вам нужно написать ответ в другом виде, например, через тангенс, можно выразить это как: \[ \tan(2a) \cdot \frac{\cos(\varphi)}{\sin(\varphi)} = \tan(2a) \cdot \cot(\varphi). \]
Финальный ответ: \[ \boxed{\frac{\sin(2a) \cos(\varphi)}{\cos(2a) \sin(\varphi)}} \]
