20.(3 балла) Решите светему уравнений x+4y=16\\ log +y =log 7 ( 4x + 4
Конечно! Давайте разберем данное уравнение шаг за шагом.
Задача:
Решите систему уравнений:
\[ \begin{cases} x + 4y = 16 \quad (1) \\ \log y = \log\left(7(4x + 4)\right) \quad (2) \end{cases} \]
Шаг 1. Анализ системы
Первое уравнение — линейное:
\[ x + 4y = 16 \]
Второе уравнение содержит логарифмы. Напомним, что если \(\log a = \log b\), то \(a = b\), при условии, что \(a > 0\) и \(b > 0\).
Шаг 2. Упростим второе уравнение
Из второго уравнения:
\[ \log y = \log \left(7(4x + 4)\right) \]
Следовательно,
\[ y = 7(4x + 4) \]
Обратите внимание, что по условию логарифмы определены для положительных аргументов:
\[ y > 0, \quad 4x + 4 > 0 \]
То есть,
\[ 4x + 4 > 0 \Rightarrow x > -1 \]
Шаг 3. Подставим выражение для \( y \) в первое уравнение
Из второго уравнения:
\[ y = 7(4x + 4) \]
Подставим в уравнение (1):
\[ x + 4 \cdot y = 16 \]
\[ x + 4 \cdot 7(4x + 4) = 16 \]
Шаг 4. Решим полученное уравнение
Раскроем скобки:
\[ x + 28(4x + 4) = 16 \]
\[ x + 28 \cdot 4x + 28 \cdot 4 = 16 \]
\[ x + 112x + 112 = 16 \]
Сложим подобные:
\[ (1x + 112x) + 112 = 16 \]
\[ 113x + 112 = 16 \]
Отнимем 112 с обеих сторон:
\[ 113x = 16 - 112 \] \[ 113x = -96 \]
Найдем \( x \):
\[ x = \frac{-96}{113} \]
Шаг 5. Найдем \( y \)
Вернемся к выражению для \( y \):
\[ y = 7(4x + 4) \]
Подставим найденное значение \( x \):
\[ 4x + 4 = 4 \cdot \frac{-96}{113} + 4 \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ = \frac{-384}{113} + 4 \]
Запишем 4 как \(\frac{452}{113}\):
\[ = \frac{-384}{113} + \frac{452}{113} = \frac{68}{113} \]
Теперь найдем \( y \):
\[ y = 7 \times \frac{68}{113} = \frac{7 \times 68}{113} = \frac{476}{113} \]
Ответ:
\[ \boxed{ x = -\frac{96}{113}, \quad y = \frac{476}{113} } \]
Проверим условие положительности \( y \):
\[ y = \frac{476}{113} > 0 \]
и
\[ 4x + 4 = \frac{68}{113} > 0 \]
Оба значения положительные, условие области определения выполнено.
Если есть дополнительные вопросы или нужно пояснить подробно какую-то часть — сообщайте!
