В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 12. Найдите её объём.

Рассмотрим задачу по шагам: Дано: - Правильная четырёхугольная пирамида (основание — квадрат) - Высота пирамиды \(h = 6\) - Боковое ребро \(l = 12\) Необходимо найти объем пирамиды. --- ### Шаг 1: Обозначение и схема Обозначим: - сторону квадрата основания — \(a\) - высота пирамиды — \(h = 6\) - боковое ребро — от вершины до любой вершины основания — \(l = 12\) Рассмотрим сечение пирамиды — плоскость, проходящую через центр основания и вершину пирамиды. --- ### Шаг 2: Связь между боковым ребром и высотой Боковое ребро — это расстояние от вершины \(V\) до вершины основания \(A\) или \(C\), и оно составляет 12. Пусть \(O\) — центр основания квадрата, тогда: - Высота \(VO\) равна 6 (поднимается вертикально из центра основания). - Вершина \(V\) находится на высоте 6 над центром основания. Чтобы выразить \(a\) (сторону квадрата), посмотрим на треугольник, образованный высотой, половиной стороны основания и боковым ребром: - В треугольнике \(VOA\), где: - \(VO = h = 6\) - \(AO = \frac{a}{2}\) - \(VA = l = 12\) Известно, что: \[ VA^2 = VO^2 + AO^2 \] Это — прямой треугольник, поскольку высота и половина стороны образуют прямой угол. --- ### Шаг 3: Найдем сторону квадрата \(a\) Подставляем известные значения: \[ 12^2 = 6^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \] \[ 144 = 36 + \frac{a^2}{4} \] Вычитаем 36: \[ 144 - 36 = \frac{a^2}{4} \] \[ 108 = \frac{a^2}{4} \] Умножим обе части на 4: \[ 432 = a^2 \] Следовательно: \[ a = \sqrt{432} = \sqrt{144 \times 3} = 12 \sqrt{3} \] --- ### Шаг 4: Вычислим площадь основания \(S\) Площадь квадрата: \[ S = a^2 = 432 \] --- ### Шаг 5: Найдём объем пирамиды Объем пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} \times S \times h \] Подставляем найденные значения: \[ V = \frac{1}{3} \times 432 \times 6 \] Вычисляем: \[ V = \frac{1}{3} \times 2592 = 864 \] --- ### Итог: **Объем правильной четырёхугольной пирамиды равен \(\boxed{864}\).**