В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 12. Найдите её объём.
Рассмотрим задачу по шагам:
Дано:
- Правильная четырёхугольная пирамида (основание — квадрат)
- Высота пирамиды \(h = 6\)
- Боковое ребро \(l = 12\)
Необходимо найти объем пирамиды.
Шаг 1: Обозначение и схема
Обозначим:
- сторону квадрата основания — \(a\)
- высота пирамиды — \(h = 6\)
- боковое ребро — от вершины до любой вершины основания — \(l = 12\)
Рассмотрим сечение пирамиды — плоскость, проходящую через центр основания и вершину пирамиды.
Шаг 2: Связь между боковым ребром и высотой
Боковое ребро — это расстояние от вершины \(V\) до вершины основания \(A\) или \(C\), и оно составляет 12.
Пусть \(O\) — центр основания квадрата, тогда:
- Высота \(VO\) равна 6 (поднимается вертикально из центра основания).
- Вершина \(V\) находится на высоте 6 над центром основания.
Чтобы выразить \(a\) (сторону квадрата), посмотрим на треугольник, образованный высотой, половиной стороны основания и боковым ребром:
- В треугольнике \(VOA\), где:
- \(VO = h = 6\)
- \(AO = \frac{a}{2}\)
- \(VA = l = 12\)
Известно, что:
\[ VA^2 = VO^2 + AO^2 \]
Это — прямой треугольник, поскольку высота и половина стороны образуют прямой угол.
Шаг 3: Найдем сторону квадрата \(a\)
Подставляем известные значения:
\[ 12^2 = 6^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
\[ 144 = 36 + \frac{a^2}{4} \]
Вычитаем 36:
\[ 144 - 36 = \frac{a^2}{4} \]
\[ 108 = \frac{a^2}{4} \]
Умножим обе части на 4:
\[ 432 = a^2 \]
Следовательно:
\[ a = \sqrt{432} = \sqrt{144 \times 3} = 12 \sqrt{3} \]
Шаг 4: Вычислим площадь основания \(S\)
Площадь квадрата:
\[ S = a^2 = 432 \]
Шаг 5: Найдём объем пирамиды
Объем пирамиды:
\[ V = \frac{1}{3} \times S \times h \]
Подставляем найденные значения:
\[ V = \frac{1}{3} \times 432 \times 6 \]
Вычисляем:
\[ V = \frac{1}{3} \times 2592 = 864 \]
Итог:
Объем правильной четырёхугольной пирамиды равен \(\boxed{864}\).
