Реши

Давайте подробно решим каждую задачу по порядку. --- ### 1. \(\frac{x^3 + 4x^2 + 2x - 1}{x + 1}\) Задача — разделить многочлен на \(x + 1\) методом деления в столбик или с помощью схематичного деления. #### Деление многочлена \(x^3 + 4x^2 + 2x - 1\) на \(x + 1\): 1. Первый член делимого \(x^3\) делим на старший член делителя \(x\): \[ x^3 : x = x^2 \] 2. Умножаем делитель на полученный член: \[ (x + 1) \cdot x^2 = x^3 + x^2 \] 3. Вычитаем полученное из делимого: \[ (x^3 + 4x^2 + 2x - 1) - (x^3 + x^2) = 3x^2 + 2x - 1 \] 4. Следующий член: \[ 3x^2 : x = 3x \] 5. Умножение: \[ (x + 1) \cdot 3x = 3x^2 + 3x \] 6. Вычитание: \[ (3x^2 + 2x - 1) - (3x^2 + 3x) = -x - 1 \] 7. Последний шаг: \[ -x : x = -1 \] 8. Умножение: \[ (x + 1) \cdot (-1) = -x - 1 \] 9. Вычитание: \[ (-x - 1) - (-x - 1) = 0 \] **Ответ:** \[ x^2 + 3x - 1 \] --- ### 2. \(\frac{x^5 - x^4 + 3x^3 + 2x^2 - 2x + 6}{x^3 + 2}\) Поделим многочлены. 1. Делитель старший член: \(x^3\) 2. Делимое старший член: \(x^5\) Делим: \[ x^5 : x^3 = x^2 \] Умножаем: \[ (x^3 + 2) \cdot x^2 = x^5 + 2x^2 \] Вычитаем: \[ (x^5 - x^4 + 3x^3 + 2x^2 - 2x + 6) - (x^5 + 2x^2) = -x^4 + 3x^3 - 2x + 6 \] Теперь делим старший член: \(-x^4\) Делим: \[ -x^4 : x^3 = -x \] Умножаем: \[ (x^3 + 2) \cdot (-x) = -x^4 - 2x \] Вычитаем: \[ (-x^4 + 3x^3 - 2x + 6) - (-x^4 - 2x) = 3x^3 + 6 \] Делим: \[ 3x^3 : x^3 = 3 \] Умножаем: \[ (x^3 + 2) \cdot 3 = 3x^3 + 6 \] Вычитаем: \[ (3x^3 + 6) - (3x^3 + 6) = 0 \] **Ответ:** \(\boxed{x^2 - x + 3}\) --- ### 3. \(\frac{x^4 - x^3 + x^2 + 2}{x^2 - 2x + 2}\) Проверим делимость, воспользуемся делением: 1. Делим: \[ x^4 : x^2 = x^2 \] 2. Умножаем: \[ (x^2 - 2x + 2) \cdot x^2 = x^4 - 2x^3 + 2x^2 \] 3. Вычитаем: \[ (x^4 - x^3 + x^2 + 2) - (x^4 - 2x^3 + 2x^2) = x^3 - x^2 + 2 \] Дальше делим: \[ x^3 : x^2 = x \] Умножаем: \[ (x^2 - 2x + 2) \cdot x = x^3 - 2x^2 + 2x \] Вычитаем: \[ (x^3 - x^2 + 2) - (x^3 - 2x^2 + 2x) = x^2 - 2x + 2 \] Делим: \[ x^2 : x^2 = 1 \] Умножаем: \[ (x^2 - 2x + 2) \cdot 1 = x^2 - 2x + 2 \] Вычитаем: \[ (x^2 - 2x + 2) - (x^2 - 2x + 2) = 0 \] Ответ — **частное:** \[ x^2 + x + 1 \] --- ### 4. \(\frac{2x^5 + x^4 + 5x^3 + 2x^2 + 2x}{2x^2 + x + 1}\) Делим: 1. Делим: \[ 2x^5 : 2x^2 = x^3 \] 2. Умножаем: \[ (2x^2 + x + 1) \cdot x^3 = 2x^5 + x^4 + x^3 \] 3. Вычитаем: \[ (2x^5 + x^4 + 5x^3 + 2x^2 + 2x) - (2x^5 + x^4 + x^3) = 4x^3 + 2x^2 + 2x \] Повторяем деление: \[ 4x^3 : 2x^2 = 2x \] Умножаем: \[ (2x^2 + x + 1) \cdot 2x = 4x^3 + 2x^2 + 2x \] Вычитаем: \[ (4x^3 + 2x^2 + 2x) - (4x^3 + 2x^2 + 2x) = 0 \] Ответ: **частное:** \(\boxed{x^3 + 2x}\) --- ### 5. \(\frac{2x^5 + x^3 + 3}{x+1}\) Делим: 1. Делим \(2x^5\) на \(x\): \[ 2x^5 : x = 2x^4 \] 2. Умножаем: \[ (x+1) \cdot 2x^4 = 2x^5 + 2x^4 \] 3. Вычитаем: \[ (2x^5 + x^3 +3) - (2x^5 + 2x^4) = -2x^4 + x^3 + 3 \] Следующий шаг: делим \(-2x^4\) на \(x\): \[ -2x^4 : x = -2x^3 \] Умножаем: \[ (x+1) \cdot -2x^3 = -2x^4 - 2x^3 \] Вычитаем: \[ (-2x^4 + x^3 +3) - (-2x^4 - 2x^3) = 3x^3 + 3 \] Делим: \[ 3x^3 : x = 3x^2 \] Умножаем: \[ (x+1) \cdot 3x^2 = 3x^3 + 3x^2 \] Вычитаем: \[ (3x^3 + 3) - (3x^3 + 3x^2) = -3x^2 + 3 \] Делим: \[ -3x^2 : x = -3x \] Умножаем: \[ (x+1) \cdot -3x = -3x^2 - 3x \] Вычитаем: \[ (-3x^2 + 3) - (-3x^2 - 3x) = 3x + 3 \] Делим: \[