Определите первые три члена числовой последовательности an = (1 + 2n):(2 + 3n) и вычислите ее предел.
Давайте разберем задачу пошагово.
Задача: определить первые три члена последовательности \(a_n = \frac{1 + 2n}{2 + 3n}\) и найти ее предел при \(n \to \infty\).
Шаг 1. Запишем первые три члена последовательности
Для этого подставим значения \(n=1,2,3\):
\(a_1 = \frac{1 + 2 \times 1}{2 + 3 \times 1} = \frac{1 + 2}{2 + 3} = \frac{3}{5}\)
\(a_2 = \frac{1 + 2 \times 2}{2 + 3 \times 2} = \frac{1 + 4}{2 + 6} = \frac{5}{8}\)
\(a_3 = \frac{1 + 2 \times 3}{2 + 3 \times 3} = \frac{1 + 6}{2 + 9} = \frac{7}{11}\)
Ответ на первый пункт:
Первые три члена: \(\frac{3}{5}\), \(\frac{5}{8}\), \(\frac{7}{11}\).
Шаг 2. Определим предел последовательности \(a_n\) при \(n \to \infty\)
Для этого рассмотрим асимптотическое поведение дроби:
\[ a_n = \frac{1 + 2n}{2 + 3n} \]
Когда \(n \to \infty\), ведущие члены числителя и знаменателя — это \(2n\) и \(3n\) соответственно.
Обозначим это, разделив числитель и знаменатель на \(n\):
\[ a_n = \frac{\frac{1}{n} + 2}{\frac{2}{n} + 3} \]
При \(n \to \infty\) \(\frac{1}{n} \to 0\) и \(\frac{2}{n} \to 0\), поэтому:
\[ a_n \to \frac{0 + 2}{0 + 3} = \frac{2}{3} \]
Ответ: предел последовательности \(\boxed{\frac{2}{3}}\).
Итог:
- Первые три члена последовательности: \(\frac{3}{5}\), \(\frac{5}{8}\), \(\frac{7}{11}\).
- Предел последовательности при \(n \to \infty\): \(\boxed{\frac{2}{3}}\).
Если есть дополнительные вопросы — спрашивайте!
Обсуждение
2 сообщениянайдите производные функцию 1)х²-2х+10 2)(х³-3)sinx
Давайте найдем производные указанных функций.
1) Для функции \(f(x) = x^2 - 2x + 10\)
Используем правила дифференцирования:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(10) \]
- Производная \(x^2\) равна \(2x\).
- Производная \(2x\) равна \(2\).
- Производная константы \(10\) равна \(0\).
Теперь подставим эти результаты:
\[ f'(x) = 2x - 2 + 0 = 2x - 2 \]
Ответ: \(f'(x) = 2x - 2\).
2) Для функции \(g(x) = (x^3 - 3) \sin x\)
Здесь нам нужно использовать правило произведения:
\[ g'(x) = (u'v + uv') \]
где \(u = x^3 - 3\) и \(v = \sin x\).
Сначала найдем производные \(u\) и \(v\):
- \(u' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3) = 3x^2\)
- \(v' = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\)
Теперь применим правило произведения:
\[ g'(x) = (3x^2) \sin x + (x^3 - 3) \cos x \]
Ответ: \(g'(x) = 3x^2 \sin x + (x^3 - 3) \cos x\).
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, дайте знать!
