Давайте разберем задачу пошагово.
Задача: определить первые три члена последовательности (a_n = \frac{1 + 2n}{2 + 3n}) и найти ее предел при (n \to \infty).
Шаг 1. Запишем первые три члена последовательности
Для этого подставим значения (n=1,2,3):
(a_1 = \frac{1 + 2 \times 1}{2 + 3 \times 1} = \frac{1 + 2}{2 + 3} = \frac{3}{5})
(a_2 = \frac{1 + 2 \times 2}{2 + 3 \times 2} = \frac{1 + 4}{2 + 6} = \frac{5}{8})
(a_3 = \frac{1 + 2 \times 3}{2 + 3 \times 3} = \frac{1 + 6}{2 + 9} = \frac{7}{11})
Ответ на первый пункт:
Первые три члена: (\frac{3}{5}), (\frac{5}{8}), (\frac{7}{11}).
Шаг 2. Определим предел последовательности (a_n) при (n \to \infty)
Для этого рассмотрим асимптотическое поведение дроби:
[
a_n = \frac{1 + 2n}{2 + 3n}
]
Когда (n \to \infty), ведущие члены числителя и знаменателя — это (2n) и (3n) соответственно.
Обозначим это, разделив числитель и знаменатель на (n):
[
a_n = \frac{\frac{1}{n} + 2}{\frac{2}{n} + 3}
]
При (n \to \infty) (\frac{1}{n} \to 0) и (\frac{2}{n} \to 0), поэтому:
[
a_n \to \frac{0 + 2}{0 + 3} = \frac{2}{3}
]
Ответ: предел последовательности (\boxed{\frac{2}{3}}).
Итог:
- Первые три члена последовательности: (\frac{3}{5}), (\frac{5}{8}), (\frac{7}{11}).
- Предел последовательности при (n \to \infty): (\boxed{\frac{2}{3}}).
Если есть дополнительные вопросы — спрашивайте!
