В партии из 15 деталей имеется 9 стандартных. Найти вероятность того, что взятые 4 детали будут 1 )стандартными 2) 3 нестандартные.
Давайте решим задачу по частям.
Дано:
- Общее число деталей: \( N = 15 \)
- Количество стандартных деталей: \( S = 9 \)
- Количество нестандартных деталей: \( N - S = 6 \)
- Количество выбранных деталей: \( k = 4 \)
1) Вероятность, что взятые 4 детали будут все стандартными
Количество способов выбрать 4 стандартные детали из 9: \[ C_{9}^{4} \]
Общее число способов выбрать любые 4 детали из 15: \[ C_{15}^{4} \]
Вероятность: \[ P_1 = \frac{C_{9}^{4}}{C_{15}^{4}} \]
2) Вероятность, что взятые 4 детали будут 3 нестандартными
Значит:
- 3 детали — нестандартные (из 6)
- 1 деталь — стандартная (из 9)
Количество способов выбрать 3 нестандартные: \( C_{6}^{3} \)
Количество способов выбрать 1 стандартную: \( C_{9}^{1} \)
Общее число способов выбрать 4 детали с таким условием: \[ C_{6}^{3} \times C_{9}^{1} \]
Вероятность: \[ P_2 = \frac{C_{6}^{3} \times C_{9}^{1}}{C_{15}^{4}} \]
Расчёты:
\[ C_{9}^{4} = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{3024}{24} = 126 \]
\[ C_{15}^{4} = \frac{15!}{4!11!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{24} = \frac{32760}{24} = 1365 \]
\[ C_{6}^{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{6} = 20 \]
\[ C_{9}^{1} = 9 \]
Итоговые вероятности:
\[ P_1 = \frac{126}{1365} \approx 0.092 \]
\[ P_2 = \frac{20 \times 9}{1365} = \frac{180}{1365} \approx 0.132 \]
Если нужны более точные значения или дальнейшие вычисления — дайте знать!
