Укажите первообразную функции f(x) = cosx-x

Давайте найдём первообразную функции \(f(x) = \cos x - x\).

Шаг 1: Расписываем задачу

Ищем функцию \(F(x)\), такую что её производная равна \(f(x)\): \[ F'(x) = \cos x - x \]

Шаг 2: Разделение на части

Для нахождения первообразной возьмём прибавку к интегралу каждого слагаемого отдельно: \[ F(x) = \int (\cos x - x) dx = \int \cos x\, dx - \int x\, dx \]

Шаг 3: Интегрируем каждое слагаемое

• \(\int \cos x\, dx = \sin x + C_1\)
• \(\int x\, dx = \frac{x^2}{2} + C_2\)

Объединяя и учитывая, что константы интегрирования можно объединить в одну произвольную константу \(C\):

\[ F(x) = \sin x - \frac{x^2}{2} + C \]

Итог:

Первообразная функции \(f(x) = \cos x - x\):

\[ \boxed{ F(x) = \sin x - \frac{x^2}{2} + C } \]

где \(C\) — произвольная постоянная.