Давайте подробно решим задачу по шагам.
Дано:
- Основание — прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см.
- Высота призмы равна длине гипотенузы этого треугольника.
- Требуется найти площадь полной поверхности призмы.
Шаг 1. Найдём гипотенузу основания (прямоугольного треугольника).
Формула для гипотенузы:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2}
]
Подставим значения:
[
c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13, \text{см}
]
Итак, гипотенуза равна 13 см.
Шаг 2. Определим высоту призмы.
Высота равна длине гипотенузы:
[
h = 13, \text{см}
]
Шаг 3. Найдём площадь основания.
Основание — прямоугольный треугольник:
[
S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}2
]
[
S{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = \frac{1}{2} \times 60 = 30, \text{см}^2
]
Шаг 4. Найдём площадь боковых поверхностей.
Поскольку призма — прямоугольная, боковые поверхности — это три прямоугольника, соответствующие сторонам основания, у которых высота равна 13 см.
Боковая поверхность, прилегающая к катету 5 см:
[
S_{\text{бок1}} = \text{длина} \times \text{высота} = 5 \times 13 = 65, \text{см}^2
]
Боковая поверхность, прилегающая к катету 12 см:
[
S_{\text{бок2}} = 12 \times 13 = 156, \text{см}^2
]
Боковая поверхность, прилегающая к гипотенузе 13 см:
[
S_{\text{бок3}} = 13 \times 13 = 169, \text{см}^2
]
Шаг 5. Найдём площадь полной поверхности.
Площадь полной поверхности — это сумма площади двух оснований и всех боковых поверхностей.
Площадь обоих оснований:
[
2 \times 30 = 60, \text{см}^2
]
Площадь боковых поверхностей:
[
65 + 156 + 169 = 390, \text{см}^2
]
Итоговая площадь полной поверхности:
[
S_{\text{полн}} = 60 + 390 = 450, \text{см}^2
]
Итительный ответ:
Площадь полной поверхности призмы равна (\boxed{450, \text{см}^2}).
