Рассмотрим задачу: при дозвуковом изэнтропическом истечении воздуха коэффициент Маха равен 0,87. Необходимо определить, как изменилась температура газа в процентах и выбрать правильный ответ.
Шаг 1: Вспомним зависимость температуры от числа Маха при изэнтропическом процессе
При изэнтропическом истечении температура воздуха меняется согласно следующему выражению:
[
\frac{T}{T_0} = \frac{1 + \frac{\gamma - 1}{2} M^2}{1 + \frac{\gamma - 1}{2} M_0^2}
]
где:
- ( T_0 ) — начальная температура,
- ( T ) — температура при Махе ( M ),
- ( \gamma ) — показатель адиабатического газа (( \gamma \approx 1.4 ) для воздуха),
- ( M_0 ) — начальный Мах.
При условии, что процесс происходит при статическом давлении и температуре, для дозвукового истечения обычно рассматривается изменение температуры по мере изменения Маха.
В нашем случае, поскольку речь идет о процессе, в котором Мах изменился с ~0 до 0.87, можно искать отношение температуры:
[
\frac{T}{T_0} = 1 + \frac{\gamma - 1}{2} M^2
]
и сравнить значения.
Шаг 2: Вычислим температуру при Махе 0 и 0.87
Для подстановки возьмем ( \gamma = 1.4 ):
[
\frac{T}{T_0} = 1 + \frac{1.4 - 1}{2} M^2 = 1 + 0.2 M^2
]
[
\frac{T_0}{T_0} = 1 + 0.2 \times 0^2 = 1
]
Изначальная температура — ( T_0 ).
[
\frac{T}{T_0} = 1 + 0.2 \times (0.87)^2
]
Посчитаем:
[
0.87^2 = 0.7569
]
[
\frac{T}{T_0} = 1 + 0.2 \times 0.7569 = 1 + 0.15138 \approx 1.151
]
Шаг 3: Определяем изменение температуры
Температура при Махе 0.87 составляет примерно 115.1% от начальной, то есть:
[
\Delta T \approx 15.1%
]
Поскольку температура увеличилась примерно на 15%, то при обратном процессе (прохождении через состояние с Мах 0.87 в изэнтропическом истечении), температура уменьшилась на примерно 15%.
Но в условии спрашивается, как изменилась температура (по смыслу — уменьшилась или выросла). Чтобы понять, насколько она снизилась — вспомним, что при расширении Мах увеличивается, следовательно, в изэнтропическом истечении температура снижается.
Так как после истечения Мах почти 0.87, значит температура на выходе ниже начальной.
Итог: На сколько процентов уменьшилась температура?
- Ориентируясь по расчету, температура уменьшилась примерно на 15%.
Наиболее близкий к расчетам ответ — примерно 13%, что соответствует первому варианту:
Ответ: "уменьшилась практически на 13%".
Итоговая версия ответа:
Правильный ответ — 1) уменьшилась практически на 13%.
