Рассмотрим задачу по шагам, подробнее объясняя каждый этап решения.
Дано:
- Масса тела: ( m = 3, \text{кг} )
- Уравнение перемещения: ( x(t) = 3A + 2Bt + Ct^2 - Dt^3 )
- Константы: ( B = -1, \text{м/с} ), ( C = 3, \text{м/с}^2 ), ( D = 0{,}1, \text{м/с}^3 )
- Время: ( t = 10, \text{s} )
Требуется найти мощность, развиваемую силой ( F ) в момент времени ( t = 10, \text{s} ).
Шаг 1: Определение скорости ( v(t) )
Скорость — это первая производная перемещения по времени:
[
v(t) = \frac{dx}{dt}
]
Подставляя выражение для ( x(t) ):
[
x(t) = 3A + 2Bt + Ct^2 - Dt^3
]
Производная:
[
v(t) = \frac{d}{dt} [3A + 2Bt + Ct^2 - Dt^3] = 0 + 2B + 2C t - 3D t^2
]
Подставляем известные значения:
[
v(t) = 2(-1) + 2 \times 3 \times t - 3 \times 0{,}1 \times t^2
]
Упростим:
[
v(t) = -2 + 6t - 0{,}3 t^2
]
Шаг 2: Вычисление скорости в момент ( t = 10, \text{s} )
Подставляем ( t=10 ):
[
v(10) = -2 + 6 \times 10 - 0{,}3 \times 100 = -2 + 60 - 30 = 28, \text{м/с}
]
Шаг 3: Определение ускорения ( a(t) )
Ускорение — вторая производная перемещения:
[
a(t) = \frac{d v}{dt} = \frac{d}{dt}(-2 + 6t - 0{,}3 t^2) = 0 + 6 - 0{,}6 t
]
Подставляем ( t=10 ):
[
a(10) = 6 - 0{,}6 \times 10 = 6 - 6 = 0, \text{м/с}^2
]
Интересно, что в этот момент ускорение равно нулю.
Шаг 4: Находим силу ( F(t) )
По второму закону Ньютона:
[
F(t) = m a(t)
]
В момент ( t=10, \text{s} ):
[
F = 3, \text{кг} \times 0, \text{м/с}^2 = 0, \text{Н}
]
Следовательно, в этот момент сила равна нулю.
Шаг 5: Вычисление мощности ( P(t) )
Мощность, развиваемая силой, — это скорость работы силы:
[
P(t) = F(t) \times v(t)
]
В момент ( t=10, \text{s} ):
[
P = 0, \text{Н} \times 28, \text{м/с} = 0, \text{Вт}
]
Ответ:
Мощность, развиваемая силой ( F ) в момент времени 10 секунд, равна 0 Вт.
