Давайте пошагово решим задачу и объясним каждый этап.
Дано:
- Масса тела, ( t = 3, \text{кг} )
- Закон перемещения:
[
x(t) = 3A + 2Bt + Ct^2 - Dt^3
]
где
[
B = -1, \text{м/с}, \quad C = 3, \text{м/с}^2, \quad D = 0,1, \text{м/с}^3
]
- Время, в котором ищется мощность: ( t = 5, \text{с} )
Задача: найти мощность, развиваемую силой ( F ) в момент времени ( t=5, \textс ).
Шаг 1: Находим скорость ( v(t) )
Скорость — это производная по времени от перемещения:
[
v(t) = \frac{dx}{dt}
]
Производим дифференцирование:
[
x(t) = 3A + 2Bt + Ct^2 - Dt^3
]
[
v(t) = \frac{d}{dt} (3A + 2Bt + Ct^2 - Dt^3)
]
[
v(t) = 0 + 2B + 2Ct - 3Dt^2
]
Подставим значения ( B, C, D ):
[
v(t) = 2(-1) + 2 \times 3 \times t - 3 \times 0,1 \times t^2
]
[
v(t) = -2 + 6t - 0,3 t^2
]
Шаг 2: Находим ускорение ( a(t) )
Ускорение — это производная скорости:
[
a(t) = \frac{dv}{dt}
]
[
a(t) = 6 - 0,6 t
]
Шаг 3: Вычисляем скорость и ускорение в момент ( t=5, \text{с} )
Подставим ( t=5 ):
[
v(5) = -2 + 6 \times 5 - 0,3 \times 25
]
[
v(5) = -2 + 30 - 7,5 = 20,5, \text{м/с}
]
и
[
a(5) = 6 - 0,6 \times 5 = 6 - 3 = 3, \text{м/с}^2
]
Шаг 4: Найдём силу ( F )
По второму закону Ньютона:
[
F(t) = m a(t)
]
[
F(5) = 3 \times 3 = 9, \text{Н}
]
Шаг 5: Вычисляем мощность ( P(t) )
Мощность, развиваемая силой, — это произведение силы на скорость:
[
P(t) = F(t) \times v(t)
]
В момент ( t=5, \textс ):
[
P(5) = 9 \times 20,5 = 184,5, \text{Вт}
]
Итог: Мощность, развиваемая силой в момент ( t=5, \textс ): примерно (\boxed{184,5, \text{Вт}}).
