Давайте разберем задачу по шагам и найдем период колебаний груза на пружине.
Дано:
- Растяжение пружины при закрепленном грузe: ( \Delta l = 20 \text{ см} = 0{,}2 \text{ м} )
Что нужно найти:
Шаг 1. Определяем силу, которая воздействует на груз
Когда груз растягивается пружиной и находится в равновесии, сила пружины уравновешивает вес груза:
[
F_{пружины} = F_гравитации
]
Сила пружины по закону Гука:
[
F_{пружины} = k \Delta l
]
Вес груза:
[
F_{гравитации} = mg
]
где:
- ( m ) — масса груза
- ( g ) — ускорение свободного падения (~9,8 м/с²)
- ( k ) — коэффициент жесткости пружины
В равновесии:
[
k \Delta l = mg
]
Шаг 2. Модель колебаний
После того, как груз немного оттянули — возникнут колебания примерно по закону гармонического осциллятора. Время периода таких колебаний для пружинных маятников определяется формулой:
[
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}
]
Но из равновесия мы можем выразить ( m ) через ( k ):
[
mg = k \Delta l \Rightarrow m = \frac{k \Delta l}{g}
]
Подставляем в формулу для периода:
[
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{k \Delta l}{g}}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{\Delta l}{g}}
]
Обратите внимание, что масса ( m ) и коэффициент жесткости ( k ) исчезают из формулы. Это означает, что период колебаний зависит только от увеличения пружины в равновесии и ускорения свободного падения.
Шаг 3. Рассчет периода
Подставим известные значения:
[
T = 2\pi \sqrt{\frac{\Delta l}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{0{,}2}{9{,}8}}
]
Вычислим подкоренное выражение:
[
\frac{0{,}2}{9{,}8} \approx 0,02041
]
Теперь найдем корень:
[
\sqrt{0,02041} \approx 0,1429
]
И, наконец,
[
T \approx 2\pi \times 0,1429 \approx 6,2832 \times 0,1429 \approx 0,9 \text{ секунда}
]
Ответ:
[
\boxed{
\text{Период колебаний } T \approx 0{,}9 \text{ секунд}
}
]
Если есть вопросы по расчетам или нужен более детальный разбор, я с удовольствием помогу!
