Конечно! Вот подробное решение задачи по нахождению касательной к графику функции y=3x^2 - 5x + 1 в точке x₀=2, с объяснениями.
Шаг 1: Определить функцию и точку
Дана функция:
[
y = 3x^2 - 5x + 1
]
и точка, в которой ищем касательную:
[
x_0=2
]
Шаг 2: Найти координаты точки на графике
Чтобы найти точку на графике при ( x=2 ), подставим значение в функцию:
[
y(2) = 3 \times (2)^2 - 5 \times 2 + 1
]
Вычислим по шагам:
[
(2)^2 = 4, \quad 3 \times 4 = 12
]
[
-5 \times 2 = -10
]
[
y(2) = 12 - 10 + 1 = 3
]
Точка касания: ( (2, 3) ).
Шаг 3: Найти производную функции
Производная функции ( y = 3x^2 - 5x + 1 ) даёт наклон касательной:
[
y' = \frac{dy}{dx} = 6x - 5
]
Это показывает, как быстро меняется ( y ) при изменении ( x ).
Шаг 4: Найти наклон касательной в точке ( x_0=2 )
Подставим ( x=2 ):
[
y'(2) = 6 \times 2 - 5 = 12 - 5 = 7
]
Значит, наклон касательной равен 7.
Шаг 5: Написать уравнение касательной
Общая форма уравнения касательной к графику функции в точке ( (x_0, y_0) ):
[
y = y_0 + m (x - x_0)
]
где:
- ( y_0=3 ),
- ( x_0=2 ),
- ( m = y'(x_0) = 7 ).
Подставим:
[
y = 3 + 7(x - 2)
]
Раскроем скобки:
[
y = 3 + 7x - 14
]
[
\boxed{y = 7x - 11}
]
Итог:
Уравнение касательной к графику функции ( y = 3x^2 - 5x + 1 ) в точке ( x=2 ) равно:
[
\boxed{y = 7x - 11}
]
Если понадобятся дополнительные пояснения или помощь, обращайтесь!
