найти касательную к графику функции y=3x^2-5x+1 в точке х0=2

Конечно! Вот подробное решение задачи по нахождению касательной к графику функции y=3x^2 - 5x + 1 в точке x₀=2, с объяснениями.

Шаг 1: Определить функцию и точку

Дана функция: \[ y = 3x^2 - 5x + 1 \] и точка, в которой ищем касательную: \[ x_0=2 \]

Шаг 2: Найти координаты точки на графике

Чтобы найти точку на графике при \( x=2 \), подставим значение в функцию: \[ y(2) = 3 \times (2)^2 - 5 \times 2 + 1 \] Вычислим по шагам: \[ (2)^2 = 4, \quad 3 \times 4 = 12 \] \[ -5 \times 2 = -10 \] \[ y(2) = 12 - 10 + 1 = 3 \] Точка касания: \( (2, 3) \).

Шаг 3: Найти производную функции

Производная функции \( y = 3x^2 - 5x + 1 \) даёт наклон касательной: \[ y' = \frac{dy}{dx} = 6x - 5 \] Это показывает, как быстро меняется \( y \) при изменении \( x \).

Шаг 4: Найти наклон касательной в точке \( x_0=2 \)

Подставим \( x=2 \): \[ y'(2) = 6 \times 2 - 5 = 12 - 5 = 7 \] Значит, наклон касательной равен 7.

Шаг 5: Написать уравнение касательной

Общая форма уравнения касательной к графику функции в точке \( (x_0, y_0) \): \[ y = y_0 + m (x - x_0) \] где:

• \( y_0=3 \),
• \( x_0=2 \),
• \( m = y'(x_0) = 7 \).

Подставим: \[ y = 3 + 7(x - 2) \]

Раскроем скобки: \[ y = 3 + 7x - 14 \] \[ \boxed{y = 7x - 11} \]

Итог:

Уравнение касательной к графику функции \( y = 3x^2 - 5x + 1 \) в точке \( x=2 \) равно:

\[ \boxed{y = 7x - 11} \]

Если понадобятся дополнительные пояснения или помощь, обращайтесь!