На предприятии каждой изготовленной детали присваивают серийный номер, состоящий из 261 символов. Для его хранения отведено одинаковое и минимально возможное число байт. При этом используется посимвольное кодирование серийных номеров, все символы кодируются одинаковым и минимально возможным числом бит. Известно, что для хранения 252 500 серийных номеров отведено более 31 Мбайт памяти. Определите минимально возможную мощность алфавита, из которого составляются серийные номера. В ответе запишите только число.

Давайте разберемся с условием поэтапно: **Дано:** - Длина одного серийного номера: 261 символ - Число серийных номеров: 252 500 - Общий объем памяти, выделенный для хранения всех номеров: более 31 Мбайт - Используется посимвольное кодирование, все символы кодируются одинаковым минимально возможным числом бит. - Минимальное число байт на хранение всего массива, соотнося с количеством символов и кодированием. **Что нужно определить:** - Минимально возможную мощность алфавита (число символов, из которых составляются номера). --- ### Шаг 1: Обозначения Пусть: - \( M \) — мощность алфавита (число различных символов), - \( b \) — число бит на один символ (минимальное, необходимое для кодирования любого символа), - \( \text{bytes} \) — минимально возможное число байт на хранение одного номера. --- ### Шаг 2: Связь между битами, байтами, количеством символов - Для кодирования одного символа необходимо **минимальное** число бит, достаточное для представления \( M \) различных символов: \[ b = \lceil \log_2 M \rceil \] - Для хранения 261 символа (одного номера) использовать необходимо: \[ \text{бит на один номер} = 261 \times b \] - Количество бит для хранения всех 252 500 номеров: \[ \text{Общее число бит} = 252{,}500 \times 261 \times b \] --- ### Шаг 3: Конвертация в байты и условие ограничения Общая память выделена больше 31 Мбайт: \[ \text{Общий объем} > 31\, \text{МБ} \] - 1 МБ = \( 2^{20} \) байт. - Следовательно, \[ \text{Общий объем} > 31 \times 2^{20} \text{ байт} \] - Общее количество бит для всей памяти: \[ \text{бит} = 8 \times \text{байт} \] - Тогда для 31 Мбайт: \[ \text{бит} \approx 8 \times 31 \times 2^{20} \] --- ### Шаг 4: Вывод неравенства Общее число бит, необходимое для хранения всех номеров, должно быть меньше данного количества: \[ 252500 \times 261 \times b \leq 8 \times 31 \times 2^{20} \] --- ### Шаг 5: Вычисление Подставим: \[ 252500 \times 261 \times b \leq 8 \times 31 \times 2^{20} \] Рассчитаем правую часть: \[ 8 \times 31 = 248 \] \[ 2^{20} \approx 1\,048\,576 \] Проведем умножение: \[ 248 \times 1\,048\,576 \approx 248 \times 1{,}048{,}576 \] - \( 248 \times 1\,000\,000 = 248\,000\,000 \) - \( 248 \times 48\,576 \approx 12\,045\,648 \) Общий результат: \[ \approx 248\,000\,000 + 12\,045\,648 = 260\,045\,648 \] Теперь выражение: \[ 252500 \times 261 \times b \leq 260\,045\,648 \] Вычислим \( 252500 \times 261 \): - \( 252500 \times 260 = 65\,650\,000 \) - \( 252500 \times 1 = 252\,500 \) - Сложим: \( 65\,650\,000 + 252\,500 = 65\,902\,500 \) Итак: \[ 65\,902\,500 \times b \leq 260\,045\,648 \] Найдем минимальное \( b \): \[ b \leq \frac{260\,045\,648}{65\,902\,500} \approx 3.94 \] Значит, минимальное целое \( b \): \[ b = 4 \] --- ### Шаг 6: Расчет мощности алфавита \( M \) Из равенства: \[ b = \lceil \log_2 M \rceil \] Мы выяснили, что \( b = 4 \), то есть: \[ \lceil \log_2 M \rceil = 4 \] Следовательно: \[ \log_2 M \leq 4 \] \[ M \leq 2^4 = 16 \] А поскольку мощность алфавита — целое число, минимальное целое \( M \): \[ \boxed{16} \] --- ## Итог: **Ответ:** 16