В выражении (a+b)13 раскрыли скобки и привели подобные слагаемые. Какой коэффициент стоит перед одночленом a4b5 ? Какой коэффициент стоит перед одночленом a7b6 ?

Рассмотрим выражение \((a + b)^{13}\). Чтобы найти коеффициенты перед конкретными одночленами после раскрытия скобок и приведения подобный, воспользуемся формулой бинома Ньютона: \[ (a + b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{k} b^{n - k} \] Здесь: - \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент (число сочетаний), - \(a^{k} b^{n - k}\) — одночлен с конкретной степенью. --- ### Найдём коэффициенты перед одночленами: ### 1. Перед одночленом \(a^{4}b^{5}\) Чтобы соответствовать этому виду, необходимо обращаться к тому, что в общем виде получается при \(k\): \[ a^{k}b^{n - k} \] Значит: \[ k = 4, \quad n - k = 13 - 4 = 9 \] Однако, мы видим, что в искомом одночлене — это \(a^{4}b^{5}\), то есть степень \(a\) равна 4, а степень \(b\) равна 5. Проверим, какая \(k\) даёт такую пару степеней: \[ a^{k}b^{n - k} = a^{4}b^{5} \] Значит: \[ k = 4, \quad n - k = 5 \] \[ n = 4 + 5 = 9 \] Но у нас признак \(n=13\), поэтому для этого одночлена: \[ a^{4}b^{5} \quad \Rightarrow \quad 4 + 5 = 9 \neq 13 \] Это означает, что такой одночлен не входит в разложение \((a + b)^{13}\), то есть он не появляется при полном разложении. **Вывод:** одночлен \(a^{4}b^{5}\) появляется в разложении \((a + b)^{n}\) только если сумма степеней равна \(n\). Значит, коэффициент перед \(a^4b^5\) в разложении \((a + b)^{13}\) равен нулю, так как \(4 + 5 \neq 13\). **Ответ:** > Коэффициент перед одночленом \(a^{4}b^{5}\) равен 0, так как такой одночлен не входит в разложение \((a + b)^{13}\). --- ### 2. Перед одночленом \(a^{7}b^{6}\) Проверим сумму степеней: \[ 7 + 6 = 13 \] Это совпадает с показателем степени разложения, значит данный одночлен входит в разложение. Коэффициент по формуле бинома Ньютона: \[ \binom{13}{7} = \frac{13!}{7! \times 6!} \] Рассчитаем \(\binom{13}{7}\): \[ \binom{13}{7} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7! \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \] или проще через стандартные формулы и таблицы. Используем формулу: \[ \binom{13}{7} = \binom{13}{6} \] так как \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}\). Посчитаем \(\binom{13}{6}\): \[ \binom{13}{6} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \] В числителе: \[ 13 \times 12 = 156 \\ 156 \times 11 = 1716 \\ 1716 \times 10 = 17\,160 \\ 17\,160 \times 9 = 154\,440 \\ 154\,440 \times 8 = 1\,235\,520 \] В знаменателе: \[ 6 \times 5 = 30 \\ 30 \times 4 = 120 \\ 120 \times 3 = 360 \\ 360 \times 2 = 720 \\ 720 \times 1 = 720 \] Теперь делим числитель на знаменатель: \[ \frac{1\,235\,520}{720} = 1716 \] **Итак:** \[ \boxed{ \binom{13}{7} = 1716 } \] --- ### Итоговые ответы: - **Коэффициент перед \(a^{4}b^{5}\):** 0 (такого одночлена в разложении не будет, так как сумма степеней 9 не равна 13). - **Коэффициент перед \(a^{7}b^{6}\):** 1716. Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь в объяснении — обращайтесь!