В выражении (a+b)13 раскрыли скобки и привели подобные слагаемые. Какой коэффициент стоит перед одночленом a4b5 ? Какой коэффициент стоит перед одночленом a7b6 ?
Рассмотрим выражение \((a + b)^{13}\). Чтобы найти коеффициенты перед конкретными одночленами после раскрытия скобок и приведения подобный, воспользуемся формулой бинома Ньютона:
\[ (a + b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{k} b^{n - k} \]
Здесь:
- \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент (число сочетаний),
- \(a^{k} b^{n - k}\) — одночлен с конкретной степенью.
Найдём коэффициенты перед одночленами:
1. Перед одночленом \(a^{4}b^{5}\)
Чтобы соответствовать этому виду, необходимо обращаться к тому, что в общем виде получается при \(k\):
\[ a^{k}b^{n - k} \]
Значит:
\[ k = 4, \quad n - k = 13 - 4 = 9 \]
Однако, мы видим, что в искомом одночлене — это \(a^{4}b^{5}\), то есть степень \(a\) равна 4, а степень \(b\) равна 5.
Проверим, какая \(k\) даёт такую пару степеней:
\[ a^{k}b^{n - k} = a^{4}b^{5} \]
Значит:
\[ k = 4, \quad n - k = 5 \] \[ n = 4 + 5 = 9 \]
Но у нас признак \(n=13\), поэтому для этого одночлена:
\[ a^{4}b^{5} \quad \Rightarrow \quad 4 + 5 = 9 \neq 13 \]
Это означает, что такой одночлен не входит в разложение \((a + b)^{13}\), то есть он не появляется при полном разложении.
Вывод: одночлен \(a^{4}b^{5}\) появляется в разложении \((a + b)^{n}\) только если сумма степеней равна \(n\).
Значит, коэффициент перед \(a^4b^5\) в разложении \((a + b)^{13}\) равен нулю, так как \(4 + 5 \neq 13\).
Ответ:
Коэффициент перед одночленом \(a^{4}b^{5}\) равен 0, так как такой одночлен не входит в разложение \((a + b)^{13}\).
2. Перед одночленом \(a^{7}b^{6}\)
Проверим сумму степеней:
\[ 7 + 6 = 13 \]
Это совпадает с показателем степени разложения, значит данный одночлен входит в разложение.
Коэффициент по формуле бинома Ньютона:
\[ \binom{13}{7} = \frac{13!}{7! \times 6!} \]
Рассчитаем \(\binom{13}{7}\):
\[ \binom{13}{7} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7! \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]
или проще через стандартные формулы и таблицы.
Используем формулу:
\[ \binom{13}{7} = \binom{13}{6} \]
так как \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}\).
Посчитаем \(\binom{13}{6}\):
\[ \binom{13}{6} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]
В числителе:
\[ 13 \times 12 = 156 \\ 156 \times 11 = 1716 \\ 1716 \times 10 = 17\,160 \\ 17\,160 \times 9 = 154\,440 \\ 154\,440 \times 8 = 1\,235\,520 \]
В знаменателе:
\[ 6 \times 5 = 30 \\ 30 \times 4 = 120 \\ 120 \times 3 = 360 \\ 360 \times 2 = 720 \\ 720 \times 1 = 720 \]
Теперь делим числитель на знаменатель:
\[ \frac{1\,235\,520}{720} = 1716 \]
Итак:
\[ \boxed{ \binom{13}{7} = 1716 } \]
Итоговые ответы:
- Коэффициент перед \(a^{4}b^{5}\): 0 (такого одночлена в разложении не будет, так как сумма степеней 9 не равна 13).
- Коэффициент перед \(a^{7}b^{6}\): 1716.
Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь в объяснении — обращайтесь!
