Вычислите площадь участка стола, отведенного для презентации работ дизайнера Василия, периметр которого ограничивает линии y=x2 -2x+1иy=1+х. Выполните чертеж. Ответ дайте в квадратных метрах

Давайте разберём задачу пошагово и подробно. **Описание задачи:** Нам даны две линии, ограничивающие участок стола для презентации: 1. \( y = x^2 - 2x + 1 \) 2. \( y = 1 + x \) Требуется найти площадь этого участка и выполнить чертёж. --- ### Шаг 1. Анализ уравнений линий - Первая линия: \( y = x^2 - 2x + 1 \) Это квадратичная функция, парабола. Приведём её к более удобному виду, дополнив или выразив вершину: \[ y = x^2 - 2x + 1 \] Можно переписать в виде полного квадрата: \[ y = (x - 1)^2 \] Это парабола с вершиной в точке \((1, 0)\). - Вторая линия: \( y = 1 + x \) Это прямая с угловым коэффициентом 1 и проходящая через точку \((0, 1)\). --- ### Шаг 2. Нахождение точек пересечения линий Чтобы найти границы области, решим систему: \[ (x - 1)^2 = 1 + x \] Рассмотрим: \[ x^2 - 2x + 1 = x + 1 \] Перенесём все в одну сторону: \[ x^2 - 2x + 1 - x - 1 = 0 \] \[ x^2 - 3x = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ x(x - 3) = 0 \] Значит, решения: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 3 \] Теперь найдём соответствующие y: - Для \(x=0\): \[ y = 1 + 0 = 1 \] или парабола: \[ y = (0 - 1)^2 = 1 \] совпадает, значит точка пересечения: \[ (0, 1) \] - Для \(x=3\): \[ y = 1 + 3 = 4 \] и по параболе: \[ (3 - 1)^2 = 2^2 = 4 \] точка пересечения: \[ (3, 4) \] --- ### Шаг 3. Построение области Область ограничена: - снизу: парабой \( y = (x - 1)^2 \); - сверху: прямой \( y = 1 + x \); и по x — от \(x=0\) до \(x=3\). --- ### Шаг 4. Вычисление площади Площадь между двумя кривыми на интервале \([0, 3]\): \[ S = \int_{0}^{3} [\text{верхняя функция} - \text{нижняя функция}] \, dx \] - верхняя линия: \( y = 1 + x \) - нижняя линия: \( y = (x - 1)^2 \) Итак: \[ S = \int_0^3 [ (1 + x) - (x - 1)^2 ] dx \] Раскроем и упростим выражение внутри интеграла: \[ (1 + x) - (x^2 - 2x +1) = 1 + x - x^2 + 2x - 1 = (x + 2x) - x^2 = 3x - x^2 \] Следовательно: \[ S = \int_0^3 (3x - x^2) dx \] Вычислим интеграл: \[ \int (3x - x^2) dx = \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \] Подставляем пределы \(0\) и \(3\): \[ S = \left[ \frac{3 \times 3^2}{2} - \frac{3^3}{3} \right] - \left[ 0 - 0 \right] \] Посчитаем: \[ \frac{3 \times 9}{2} - \frac{27}{3} = \frac{27}{2} - 9 = 13.5 - 9 = 4.5 \] **Ответ: площадь участка составляет \(\boxed{4.5}\) квадратных метров.** --- ### Шаг 5. Чертёж (описание) Для чертежа: - Проведите ось \(x\). - Постройте параболу \( y = (x - 1)^2 \), она симметрична относительно вертикальной оси через \(x=1\). - Постройте линию \( y = 1 + x \), которая пересекает параболу в точках \((0,1)\) и \((3,4)\). - Область ограничена снизу параболой, сверху — линией, эти линии соединены at точками \((0,1)\) и \((3,4)\). --- Если нужно — я могу помочь вам построить чертёж более подробно или дать график в виде рисунка.