Вычислите площадь участка стола, отведенного для презентации работ дизайнера Василия, периметр которого ограничивает линии y=x2 -2x+1иy=1+х. Выполните чертеж. Ответ дайте в…

Давайте разберём задачу пошагово и подробно.

Описание задачи:

Нам даны две линии, ограничивающие участок стола для презентации:

1. \( y = x^2 - 2x + 1 \)
2. \( y = 1 + x \)

Требуется найти площадь этого участка и выполнить чертёж.

---

Шаг 1. Анализ уравнений линий

• Первая линия: \( y = x^2 - 2x + 1 \)

Это квадратичная функция, парабола. Приведём её к более удобному виду, дополнив или выразив вершину:

\[ y = x^2 - 2x + 1 \]

Можно переписать в виде полного квадрата:

\[ y = (x - 1)^2 \]

Это парабола с вершиной в точке \((1, 0)\).

• Вторая линия: \( y = 1 + x \)

Это прямая с угловым коэффициентом 1 и проходящая через точку \((0, 1)\).

---

Шаг 2. Нахождение точек пересечения линий

Чтобы найти границы области, решим систему:

\[ (x - 1)^2 = 1 + x \]

Рассмотрим:

\[ x^2 - 2x + 1 = x + 1 \]

Перенесём все в одну сторону:

\[ x^2 - 2x + 1 - x - 1 = 0 \] \[ x^2 - 3x = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ x(x - 3) = 0 \]

Значит, решения:

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 3 \]

Теперь найдём соответствующие y:

• Для \(x=0\):

\[ y = 1 + 0 = 1 \] или парабола:

\[ y = (0 - 1)^2 = 1 \] совпадает, значит точка пересечения:

\[ (0, 1) \]

• Для \(x=3\):

\[ y = 1 + 3 = 4 \] и по параболе:

\[ (3 - 1)^2 = 2^2 = 4 \]

точка пересечения:

\[ (3, 4) \]

---

Шаг 3. Построение области

Область ограничена:

• снизу: парабой \( y = (x - 1)^2 \);
• сверху: прямой \( y = 1 + x \);

и по x — от \(x=0\) до \(x=3\).

---

Шаг 4. Вычисление площади

Площадь между двумя кривыми на интервале \([0, 3]\):

\[ S = \int_{0}^{3} [\text{верхняя функция} - \text{нижняя функция}] \, dx \]

• верхняя линия: \( y = 1 + x \)
• нижняя линия: \( y = (x - 1)^2 \)

Итак:

\[ S = \int_0^3 [ (1 + x) - (x - 1)^2 ] dx \]

Раскроем и упростим выражение внутри интеграла:

\[ (1 + x) - (x^2 - 2x +1) = 1 + x - x^2 + 2x - 1 = (x + 2x) - x^2 = 3x - x^2 \]

Следовательно:

\[ S = \int_0^3 (3x - x^2) dx \]

Вычислим интеграл:

\[ \int (3x - x^2) dx = \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \]

Подставляем пределы \(0\) и \(3\):

\[ S = \left[ \frac{3 \times 3^2}{2} - \frac{3^3}{3} \right] - \left[ 0 - 0 \right] \]

Посчитаем:

\[ \frac{3 \times 9}{2} - \frac{27}{3} = \frac{27}{2} - 9 = 13.5 - 9 = 4.5 \]

Ответ: площадь участка составляет \(\boxed{4.5}\) квадратных метров.

---

Шаг 5. Чертёж (описание)

Для чертежа:

• Проведите ось \(x\).
• Постройте параболу \( y = (x - 1)^2 \), она симметрична относительно вертикальной оси через \(x=1\).
• Постройте линию \( y = 1 + x \), которая пересекает параболу в точках \((0,1)\) и \((3,4)\).
• Область ограничена снизу параболой, сверху — линией, эти линии соединены at точками \((0,1)\) и \((3,4)\).

---

Если нужно — я могу помочь вам построить чертёж более подробно или дать график в виде рисунка.