Решить
Рассмотрим заданное уравнение:
\[ \left(\frac{5}{7}\right)^x - 2 \left(1 \frac{2}{5}\right)^x + 1 = 0 \]
Для удобства перепишем выражение с использованием более понятных дробей и чисел.
- Выражение \(1 \frac{2}{5}\) — это смешанное число, которое равно:
\[ 1 \frac{2}{5} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} + \frac{2}{5} = \frac{7}{5} \]
Теперь уравнение выглядит так:
\[ \left(\frac{5}{7}\right)^x - 2 \left(\frac{7}{5}\right)^x + 1 = 0 \]
- Обратим внимание, что \(\left(\frac{5}{7}\right)^x\) и \(\left(\frac{7}{5}\right)^x\) — это взаимно обратные степени, потому что:
\[ \left(\frac{7}{5}\right)^x = \left(\frac{1}{\frac{5}{7}}\right)^x = \left(\frac{5}{7}\right)^{-x} \]
Обозначим \(a = \left(\frac{5}{7}\right)^x\). Тогда:
\[ \left(\frac{7}{5}\right)^x = a^{-1} \]
Подставим в уравнение:
\[ a - 2a^{-1} + 1 = 0 \]
- Упростим это уравнение. Умножим всё уравнение на \(a\) (предполагая, что \(a \neq 0\)):
\[ a^2 - 2 + a = 0 \]
или по-старому:
\[ a^2 + a - 2 = 0 \]
- Решим квадратное уравнение:
\[ a^2 + a - 2 = 0 \]
Подставим дискриминант:
\[ D = 1^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 1 + 8 = 9 \]
Корни:
\[ a = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]
Получаем два решения:
\[ a_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
\[ a_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
- Вернёмся к определению \(a = \left(\frac{5}{7}\right)^x\).
- Для \(a=1\):
\[ \left(\frac{5}{7}\right)^x = 1 \]
Это возможно, когда:
\[ \frac{5}{7}^x = 1 \]
Поскольку любое число, возведённое в нулевую степень, равно 1:
\[ x = 0 \]
- Для \(a=-2\):
\[ \left(\frac{5}{7}\right)^x = -2 \]
Обратите внимание, что \(\left(\frac{5}{7}\right)^x\) — это экспоненциальная функция с основанием положительным (\(\frac{5}{7}\) — положительное число).
Экспоненциальная функция с положительным основанием не может принимать отрицательные значения, следовательно:
\[ \left(\frac{5}{7}\right)^x \neq -2 \]
Это означает, что решение для этого случая недопустимо.
Итак, финальный ответ:
\[ \boxed{ x=0 } \]
