Решить

Рассмотрим заданное уравнение: \[ \left(\frac{5}{7}\right)^x - 2 \left(1 \frac{2}{5}\right)^x + 1 = 0 \] Для удобства перепишем выражение с использованием более понятных дробей и чисел. 1. Выражение \(1 \frac{2}{5}\) — это смешанное число, которое равно: \[ 1 \frac{2}{5} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} + \frac{2}{5} = \frac{7}{5} \] Теперь уравнение выглядит так: \[ \left(\frac{5}{7}\right)^x - 2 \left(\frac{7}{5}\right)^x + 1 = 0 \] 2. Обратим внимание, что \(\left(\frac{5}{7}\right)^x\) и \(\left(\frac{7}{5}\right)^x\) — это взаимно обратные степени, потому что: \[ \left(\frac{7}{5}\right)^x = \left(\frac{1}{\frac{5}{7}}\right)^x = \left(\frac{5}{7}\right)^{-x} \] Обозначим \(a = \left(\frac{5}{7}\right)^x\). Тогда: \[ \left(\frac{7}{5}\right)^x = a^{-1} \] Подставим в уравнение: \[ a - 2a^{-1} + 1 = 0 \] 3. Упростим это уравнение. Умножим всё уравнение на \(a\) (предполагая, что \(a \neq 0\)): \[ a^2 - 2 + a = 0 \] или по-старому: \[ a^2 + a - 2 = 0 \] 4. Решим квадратное уравнение: \[ a^2 + a - 2 = 0 \] Подставим дискриминант: \[ D = 1^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 1 + 8 = 9 \] Корни: \[ a = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Получаем два решения: \[ a_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ a_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] 5. Вернёмся к определению \(a = \left(\frac{5}{7}\right)^x\). - Для \(a=1\): \[ \left(\frac{5}{7}\right)^x = 1 \] Это возможно, когда: \[ \frac{5}{7}^x = 1 \] Поскольку любое число, возведённое в нулевую степень, равно 1: \[ x = 0 \] - Для \(a=-2\): \[ \left(\frac{5}{7}\right)^x = -2 \] Обратите внимание, что \(\left(\frac{5}{7}\right)^x\) — это экспоненциальная функция с основанием положительным (\(\frac{5}{7}\) — положительное число). Экспоненциальная функция с положительным основанием не может принимать отрицательные значения, следовательно: \[ \left(\frac{5}{7}\right)^x \neq -2 \] Это означает, что решение для этого случая недопустимо. **Итак, финальный ответ:** \[ \boxed{ x=0 } \]