Найдите значение функции y=-x3+x2+x+6 в точке максимума

Конечно! Решим задачу по поиску значения функции y = -x^3 + x^2 + x + 6 в точке её максимума. Так как цель — понять, я подробно объясню каждый шаг.

Шаг 1. Запишем функцию:

\[ y = -x^3 + x^2 + x + 6 \]

Шаг 2. Найдём первую производную функции y, чтобы найти её критические точки (точки, где функция достигает максимума или минимума).

Производная по x: \[ y' = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(-x^3 + x^2 + x + 6) \]

Рассчитаем по степеням:

• Производная от \(-x^3\) равна \(-3x^2\),
• от \(x^2\) — \(2x\),
• от \(x\) — 1,
• от константы 6 — 0.

Итого: \[ y' = -3x^2 + 2x + 1 \]

Шаг 3. Найдём критические точки, приравняв первую производную к нулю:

\[ -3x^2 + 2x + 1 = 0 \]

Перепишем: \[ 3x^2 - 2x - 1 = 0 \]

Используем формулу для решения квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a=3\), \(b=-2\), \(c=-1\).

Подставляем: \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \times 3 \times (-1)}}{2 \times 3} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{6} \]

\[ \sqrt{16} = 4 \]

Значит, получаем два решения: \[ x = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1 \] \[ x = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \]

Критические точки: \(x=1\) и \(x=-\frac{1}{3}\).

Шаг 4. Определим, какая из этих точек — максимум, а какая — минимум.

Для этого возьмём вторую производную: \[ y'' = \frac{d}{dx} y' = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 2x + 1) \] \[ y'' = -6x + 2 \]

Подставим значения критических точек:

• В точке \(x=1\): \[ y''(1) = -6 \times 1 + 2 = -6 + 2 = -4 \] Так как в этой точке вторая производная отрицательная, функция в этой точке — максимум.

• В точке \(x=-\frac{1}{3}\): \[ y''\left(-\frac{1}{3}\right) = -6 \times \left(-\frac{1}{3}\right) + 2 = 2 + 2 = 4 \] Положительная вторая производная — это минимум.

Следовательно:

• В точке \(x=1\) — максимум.
• В точке \(x=-\frac{1}{3}\) — минимум.

Шаг 5. Найдём значение функции в точке максимума (\(x=1\)):

Подставляем \(x=1\) в исходную функцию:

\[ y = - (1)^3 + (1)^2 + 1 + 6 \] \[ y = -1 + 1 + 1 + 6 \] \[ y = 7 \]

Ответ:

Значение функции в точке её максимума — \( y = 7 \).