теорема виетта

Теорема Виетта — это важное утверждение в алгебре, которое связывает коэффициенты многочлена с его корнями. Рассмотрим её в контексте квадратного уравнения, так как для учеников 10 класса это наиболее распространённый случай.

Теорема Виетта для квадратного уравнения

Рассмотрим квадратное уравнение вида:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

где \( a \neq 0 \).

Обозначим корни уравнения через \( x_1 \) и \( x_2 \).

Что говорит теорема Виетта?

• Сумма корней:

\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]

• Произведение корней:

\[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]

Почему это работает?

Эти выражения выводятся из факторизации многочлена при помощи его корней:

\[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]

Раскроем скобки и сравним с исходным уравнением:

\[ a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a x_1 x_2 \]

Теперь сравним коэффициенты:

• При сравнении коэффициентов перед \( x \):

\[ -b = -a(x_1 + x_2) \Rightarrow x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]

• При сравнении свободных членов:

\[ c = a x_1 x_2 \Rightarrow x_1 x_2 = \frac{c}{a} \]

Пример

Рассмотрим уравнение:

\[ 2x^2 - 4x - 6 = 0 \]

По теореме Виетта:

• Сумма корней: \(\displaystyle x_1 + x_2 = -\frac{-4}{2} = 2\)
• Произведение корней: \(\displaystyle x_1 x_2 = \frac{-6}{2} = -3\)

Корни уравнения удовлетворяют этим соотношениям.

Если нужна более сложная версия или объяснение для другого типа уравнений, скажи!