Теорема виетта

Теорема Виетта — это важное утверждение в алгебре, которое связывает коэффициенты многочлена с его корнями. Рассмотрим её в контексте квадратного уравнения, так как для учеников 10 класса это наиболее распространённый случай. --- ### Теорема Виетта для квадратного уравнения Рассмотрим квадратное уравнение вида: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] где \( a \neq 0 \). **Обозначим корни уравнения через \( x_1 \) и \( x_2 \).** --- ### Что говорит теорема Виетта? - **Сумма корней:** \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] - **Произведение корней:** \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \] --- ### Почему это работает? Эти выражения выводятся из факторизации многочлена при помощи его корней: \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \] Раскроем скобки и сравним с исходным уравнением: \[ a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a x_1 x_2 \] Теперь сравним коэффициенты: - При сравнении коэффициентов перед \( x \): \[ -b = -a(x_1 + x_2) \Rightarrow x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] - При сравнении свободных членов: \[ c = a x_1 x_2 \Rightarrow x_1 x_2 = \frac{c}{a} \] --- ### Пример Рассмотрим уравнение: \[ 2x^2 - 4x - 6 = 0 \] По теореме Виетта: - Сумма корней: \(\displaystyle x_1 + x_2 = -\frac{-4}{2} = 2\) - Произведение корней: \(\displaystyle x_1 x_2 = \frac{-6}{2} = -3\) Корни уравнения удовлетворяют этим соотношениям. --- Если нужна более сложная версия или объяснение для другого типа уравнений, скажи!