Вычислить
Рассмотрим каждое задание по порядку.
1. \(\log_{12} 7 / \log_{12} 7\)
Это деление одинаковых логарифмов с одинаковым основанием.
По свойству логарифмов:
\[ \frac{\log_a b}{\log_a c} = \log_c b \]
Или проще: деление логарифмов с одинаковым основанием — это логарифм по основанию третьего числа:
\[ \frac{\log_{12} 7}{\log_{12} 7} = 1 \]
Ответ: 1
2. \(\log_5 75 + \log_5 (25)^{-1}\)
Используем свойство:
\[ \log_b x + \log_b y = \log_b (xy) \]
и
\[ \log_b x^{-1} = -\log_b x \]
Следовательно:
\[ \log_5 75 + \log_5 (25)^{-1} = \log_5 75 - \log_5 25 = \log_5 \frac{75}{25} = \log_5 3 \]
Поймём, чему равен \(\log_5 3\). Так как:
\[ \log_5 3 \text{ — ускоренная запись, просто оставляем его как есть} \]
Ответ: \(\boxed{\log_5 3}\)
3. \(\log_3 27 + \log_2 16\)
Рассчитаем каждое:
\[ \log_3 27 \]
Так как \(27 = 3^3\), то
\[ \log_3 3^3 = 3 \]
Аналогично,
\[ \log_2 16 \]
Потому что \(16 = 2^4\),
\[ \log_2 2^4 = 4 \]
Теперь сложим:
\[ 3 + 4 = 7 \]
Ответ: 7
4. \( \log_4 \log_2 16 \)
Сначала вычислим внутренний логарифм:
\[ \log_2 16 \]
Так как \(16 = 2^4\),
\[ \log_2 16 = 4 \]
Теперь внешний логарифм:
\[ \log_4 4 \]
Так как \(4 = 4^1\),
\[ \log_4 4 = 1 \]
Ответ: 1
5. \(\frac{\log_5 36 - \log_5 12}{\log_3 9}\)
Можем упростить числитель:
\[ \log_5 36 - \log_5 12 = \log_5 \frac{36}{12} = \log_5 3 \]
А в знаменателе:
\[ \log_3 9 \]
Поскольку \(9 = 3^2\),
\[ \log_3 3^2 = 2 \]
Итак, вся дробь:
\[ \frac{\log_5 3}{2} \]
Ответ: \(\boxed{\frac{\log_5 3}{2}}\)
6. \(\log_2 2^2 - \log_5 11 - \log_3 10\)
Рассчитаем по частям:
\[ \log_2 2^2 = 2 \]
Дальше — три логарифма, мы можем оставить как есть или упростить чуть:
Итог:
\[ 2 - \log_5 11 - \log_3 10 \]
Это уже итоговая форма, она более упрощенной не поддается без дополнительных вычислений.
Ответ: \(\boxed{2 - \log_5 11 - \log_3 10}\)
Если нужно более точное числовое значение — потребуется калькулятор. Однако, с учетом логарифмов, их так правильно оставить.
Если что-то непонятно — спрашивайте!
