Вычислить

Рассмотрим каждое задание по порядку. --- ### 1. \(\log_{12} 7 / \log_{12} 7\) Это деление одинаковых логарифмов с одинаковым основанием. По свойству логарифмов: \[ \frac{\log_a b}{\log_a c} = \log_c b \] Или проще: деление логарифмов с одинаковым основанием — это логарифм по основанию третьего числа: \[ \frac{\log_{12} 7}{\log_{12} 7} = 1 \] **Ответ:** **1** --- ### 2. \(\log_5 75 + \log_5 (25)^{-1}\) Используем свойство: \[ \log_b x + \log_b y = \log_b (xy) \] и \[ \log_b x^{-1} = -\log_b x \] Следовательно: \[ \log_5 75 + \log_5 (25)^{-1} = \log_5 75 - \log_5 25 = \log_5 \frac{75}{25} = \log_5 3 \] Поймём, чему равен \(\log_5 3\). Так как: \[ \log_5 3 \text{ — ускоренная запись, просто оставляем его как есть} \] **Ответ:** \(\boxed{\log_5 3}\) --- ### 3. \(\log_3 27 + \log_2 16\) Рассчитаем каждое: \[ \log_3 27 \] Так как \(27 = 3^3\), то \[ \log_3 3^3 = 3 \] Аналогично, \[ \log_2 16 \] Потому что \(16 = 2^4\), \[ \log_2 2^4 = 4 \] Теперь сложим: \[ 3 + 4 = 7 \] **Ответ:** **7** --- ### 4. \( \log_4 \log_2 16 \) Сначала вычислим внутренний логарифм: \[ \log_2 16 \] Так как \(16 = 2^4\), \[ \log_2 16 = 4 \] Теперь внешний логарифм: \[ \log_4 4 \] Так как \(4 = 4^1\), \[ \log_4 4 = 1 \] **Ответ:** **1** --- ### 5. \(\frac{\log_5 36 - \log_5 12}{\log_3 9}\) Можем упростить числитель: \[ \log_5 36 - \log_5 12 = \log_5 \frac{36}{12} = \log_5 3 \] А в знаменателе: \[ \log_3 9 \] Поскольку \(9 = 3^2\), \[ \log_3 3^2 = 2 \] Итак, вся дробь: \[ \frac{\log_5 3}{2} \] **Ответ:** \(\boxed{\frac{\log_5 3}{2}}\) --- ### 6. \(\log_2 2^2 - \log_5 11 - \log_3 10\) Рассчитаем по частям: \[ \log_2 2^2 = 2 \] Дальше — три логарифма, мы можем оставить как есть или упростить чуть: Итог: \[ 2 - \log_5 11 - \log_3 10 \] Это уже итоговая форма, она более упрощенной не поддается без дополнительных вычислений. **Ответ:** \(\boxed{2 - \log_5 11 - \log_3 10}\) --- Если нужно более точное числовое значение — потребуется калькулятор. Однако, с учетом логарифмов, их так правильно оставить. --- Если что-то непонятно — спрашивайте!