вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=2-x^3 y=0 x=1 x=0

Давайте решим задачу, пошагово объясняя каждый этап.

Задача: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

• \( y = 2 - x^3 \),
• \( y = 0 \),
• \( x = 1 \),
• \( x = 0 \).

Шаг 1. Визуализация и понимание задачи

Это фигура на плоскости, ограниченная кривой \( y = 2 - x^3 \) сверху и осью \( y=0 \) снизу, а также вертикальными линиями \( x=0 \) и \( x=1 \).

Кривая \( y=2 - x^3 \) — часть графика функции, которая убывает при увеличении \( x \), начиная с точки, где \( y=2 \) при \( x=0 \), и достигая нуля при определённом \( x \).

Шаг 2. Определим точки пересечения с \( y=0 \)

Решим уравнение \( 2 - x^3 = 0 \):

\[ x^3 = 2 \\ x = \sqrt[3]{2} \approx 1.26. \]

Но наша область ограничена \( x=1 \) с правой, то есть мы возьмём только интервал \( x \in [0,1] \).

Следовательно, Вся фигура ограничена между \( x=0 \) и \( x=1 \).

Проверим, какая часть кривой находится над \( y=0 \) на этом интервале:

• При \( x=0 \), \( y=2-0=2 \) — точка наверху.
• При \( x=1 \), \( y=2 - 1^3 = 2-1=1 \).

Кривая остается выше оси \( y=0 \) в интервале \( [0,1] \).

Шаг 3. Запишем выражение для площади

Площадь фигуры определяется интегралом по \( x \) от 0 до 1:

\[ S = \int_{0}^{1} (высота) \, dx, \] где «высотой» является значение функции \( y=2 - x^3 \).

Площадь:

\[ S = \int_{0}^{1} (2 - x^3) \, dx. \]

Шаг 4. Произведение интеграла

Вычислим интеграл по частям:

\[ S = \int_{0}^{1} 2 \, dx - \int_{0}^{1} x^3 \, dx. \]

Постоянный множитель 2 вынесем за знак интеграла:

\[ S= 2 \int_{0}^{1} dx - \int_{0}^{1} x^3 \, dx. \]

Вычислим каждое по отдельности:

• \(\int_{0}^{1} dx = [x]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1\),
• \(\int_{0}^{1} x^3 dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}\).

Шаг 5. Итоговое вычисление

Подставляем значения:

\[ S = 2 \times 1 - \frac{1}{4} = 2 - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} - \frac{1}{4} = \frac{7}{4} = 1.75. \]

Ответ:

Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна \(\boxed{\frac{7}{4}}\) или \(1.75\).