Вопрос от Анонимного юзера 23 июня 2025 09:51

Question 1

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=2-x^3 y=0 x=1 x=0

Answer

Давайте решим задачу, пошагово объясняя каждый этап.

Задача: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

( y = 2 - x^3 ),
( y = 0 ),
( x = 1 ),
( x = 0 ).

Шаг 1. Визуализация и понимание задачи

Это фигура на плоскости, ограниченная кривой ( y = 2 - x^3 ) сверху и осью ( y=0 ) снизу, а также вертикальными линиями ( x=0 ) и ( x=1 ).

Кривая ( y=2 - x^3 ) — часть графика функции, которая убывает при увеличении ( x ), начиная с точки, где ( y=2 ) при ( x=0 ), и достигая нуля при определённом ( x ).

Шаг 2. Определим точки пересечения с ( y=0 )

Решим уравнение ( 2 - x^3 = 0 ):

[ x^3 = 2 \ x = \sqrt[3]{2} \approx 1.26. ]

Но наша область ограничена ( x=1 ) с правой, то есть мы возьмём только интервал ( x \in [0,1] ).

Следовательно, Вся фигура ограничена между ( x=0 ) и ( x=1 ).

Проверим, какая часть кривой находится над ( y=0 ) на этом интервале:

При ( x=0 ), ( y=2-0=2 ) — точка наверху.
При ( x=1 ), ( y=2 - 1^3 = 2-1=1 ).

Кривая остается выше оси ( y=0 ) в интервале ( [0,1] ).

Шаг 3. Запишем выражение для площади

Площадь фигуры определяется интегралом по ( x ) от 0 до 1:

[ S = \int_{0}^{1} (высота) , dx, ] где «высотой» является значение функции ( y=2 - x^3 ).

Площадь:

[ S = \int_{0}^{1} (2 - x^3) , dx. ]

Шаг 4. Произведение интеграла

Вычислим интеграл по частям:

[ S = \int_{0}^{1} 2 , dx - \int_{0}^{1} x^3 , dx. ]

Постоянный множитель 2 вынесем за знак интеграла:

[ S= 2 \int_{0}^{1} dx - \int_{0}^{1} x^3 , dx. ]

Вычислим каждое по отдельности:

(\int_{0}^{1} dx = [x]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1),
(\int_{0}^{1} x^3 dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}).

Шаг 5. Итоговое вычисление

Подставляем значения:

[ S = 2 \times 1 - \frac{1}{4} = 2 - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} - \frac{1}{4} = \frac{7}{4} = 1.75. ]

Ответ:

Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна (\boxed{\frac{7}{4}}) или (1.75).

Question 2

вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=2-x^3 y=0 x=1 x=0

Answer

Давайте решим задачу, пошагово объясняя каждый этап. Задача: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: - \( y = 2 - x^3 \), - \( y = 0 \), - \( x = 1 \), - \( x = 0 \). --- ### Шаг 1. Визуализация и понимание задачи Это фигура на плоскости, ограниченная кривой \( y = 2 - x^3 \) сверху и осью \( y=0 \) снизу, а также вертикальными линиями \( x=0 \) и \( x=1 \). Кривая \( y=2 - x^3 \) — часть графика функции, которая убывает при увеличении \( x \), начиная с точки, где \( y=2 \) при \( x=0 \), и достигая нуля при определённом \( x \). --- ### Шаг 2. Определим точки пересечения с \( y=0 \) Решим уравнение \( 2 - x^3 = 0 \): \[ x^3 = 2 \\ x = \sqrt[3]{2} \approx 1.26. \] Но наша область ограничена \( x=1 \) с правой, то есть мы возьмём только интервал \( x \in [0,1] \). Следовательно, Вся фигура ограничена между \( x=0 \) и \( x=1 \). Проверим, какая часть кривой находится над \( y=0 \) на этом интервале: - При \( x=0 \), \( y=2-0=2 \) — точка наверху. - При \( x=1 \), \( y=2 - 1^3 = 2-1=1 \). Кривая остается выше оси \( y=0 \) в интервале \( [0,1] \). --- ### Шаг 3. Запишем выражение для площади Площадь фигуры определяется интегралом по \( x \) от 0 до 1: \[ S = \int_{0}^{1} (высота) \, dx, \] где «высотой» является значение функции \( y=2 - x^3 \). Площадь: \[ S = \int_{0}^{1} (2 - x^3) \, dx. \] --- ### Шаг 4. Произведение интеграла Вычислим интеграл по частям: \[ S = \int_{0}^{1} 2 \, dx - \int_{0}^{1} x^3 \, dx. \] Постоянный множитель 2 вынесем за знак интеграла: \[ S= 2 \int_{0}^{1} dx - \int_{0}^{1} x^3 \, dx. \] Вычислим каждое по отдельности: - \(\int_{0}^{1} dx = [x]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1\), - \(\int_{0}^{1} x^3 dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}\). --- ### Шаг 5. Итоговое вычисление Подставляем значения: \[ S = 2 \times 1 - \frac{1}{4} = 2 - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} - \frac{1}{4} = \frac{7}{4} = 1.75. \] --- ### **Ответ:** **Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна \(\boxed{\frac{7}{4}}\) или \(1.75\).**