Найдите наибольшее n , для которого 1000! делится на 38n .

Давайте разберёмся с задачей: нужно найти наибующее число n, для которого 1000! делится на число 38^n. ### Шаг 1: Преобразование задачи Значит, нужно найти максимум n, при котором: \[ 38^n \mid 1000! \] То есть, чтобы 38^n делил 1000!, в степени n нужно иметь столько же или больше простых множителей, сколько есть в 38^n. ### Шаг 2: Разложение числа 38 на простые множители Разложим 38 на простые множители: \[ 38 = 2 \times 19 \] Следовательно: \[ 38^n = 2^n \times 19^n \] Значит, 1000! должно содержать хотя бы \( 2^n \) и \( 19^n \), чтобы делить его на \( 38^n \). ### Шаг 3: Определение минимального n по каждому простому фактору Для этого необходимо найти максимальное n, при котором: - 1000! содержит фактуру 2^n - 1000! содержит фактор 19^n Поскольку делитель должен содержать оба фактора, то n должно быть не больше минимального из двух показателей, рассчитанных по каждому простому числу. ### Шаг 4: Подсчёт exponents для 2 и 19 в 1000! **a) Найдём степень 2 в 1000!** Используем формулу Legendre: \[ \text{Экспонента простого числа } p \text{ в } n! = \sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor \] Для \( p=2 \): \[ e_2 = \left\lfloor \frac{1000}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1000}{2^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1000}{2^3} \right\rfloor + \dots \] Посчитаем: \[ \left\lfloor \frac{1000}{2} \right\rfloor = 500 \] \[ \left\lfloor \frac{1000}{4} \right\rfloor = 250 \] \[ \left\lfloor \frac{1000}{8} \right\rfloor = 125 \] \[ \left\lfloor \frac{1000}{16} \right\rfloor = 62 \] \[ \left\lfloor \frac{1000}{32} \right\rfloor = 31 \] \[ \left\lfloor \frac{1000}{64} \right\rfloor = 15 \] \[ \left\lfloor \frac{1000}{128} \right\rfloor = 7 \] \[ \left\lfloor \frac{1000}{256} \right\rfloor = 3 \] \[ \left\lfloor \frac{1000}{512} \right\rfloor = 1 \] \[ \left\lfloor \frac{1000}{1024} \right\rfloor= 0 \] Итак, \[ e_2 = 500 + 250 + 125 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 = 994 \] **b) Найдём степень 19 в 1000!** \[ e_{19} = \left\lfloor \frac{1000}{19} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1000}{19^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1000}{19^3} \right\rfloor + \dots \] Рассчитываем: \[ 19^1 = 19, \quad \left\lfloor \frac{1000}{19} \right\rfloor = 52 \] \[ 19^2 = 361, \quad \left\lfloor \frac{1000}{361} \right\rfloor = 2 \] \[ 19^3 = 6859, \quad \left\lfloor \frac{1000}{6859} \right\rfloor = 0 \] Итак, \[ e_{19} = 52 + 2 = 54 \] ### Шаг 5: Определение максимального n Чтобы \( 38^n = 2^n \times 19^n \) делил 1000!, необходимо: \[ n \leq e_2 = 994 \] \[ n \leq e_{19} = 54 \] Наименьшее из двух — это 54, значит: \[ \boxed{ n_{\max} = 54 } \] ### Итог: Наибольшее n, для которого \( 38^n \) делит 1000!, равно **54**.