Определить ёмкость плоского конденсатора (см. рис.), наполовину заполненного парафином (ε = 2). Площадь обкладок конденсатора S = 13 см2 , расстояние между обкладками d = 1, 5 мм.

Давайте подробно решим задачу по определению ёмкости плоского конденсатора, наполовину заполненного парафином, с учетом диэлектрической проницаемости ε = 2. В условии есть важные параметры: - Площадь обкладок: S = 13 см² - Расстояние между обкладками: d = 1,5 мм - Диэлектрическая проницаемость парафина: ε = 2 (для парафиновой части) - Частично заполнение — половина объема между обкладками — парафином. --- ### Шаг 1: Переводим все величины в международные единицы - Площадь, S: \( 13\, \text{см}^2 = 13 \times 10^{-4}\, \text{м}^2 \) (так как \(1\, \text{см}^2 = 10^{-4}\, \text{м}^2\)). - Расстояние d: \( 1,5\, \text{мм} = 1,5 \times 10^{-3}\, \text{м} \). --- ### Шаг 2: Представляем схему Конденсатор – это две параллельные пластины с расстоянием d, заполненные наполовину диэлектриком (парафином). Если заполнение — половина объема между пластинами, то можно представить, что конденсатор состоит из двух последовательных слоев: - Верхняя половина: без диэлектрика (воздух или вакуум, ε = 1). - Нижняя половина: с диэлектриком (ε = 2). Но в данном случае заполнение идёт равномерно по объему, что предполагает, что их следует рассматривать как **слоистую структуру**, где половина площади и объема заполнена диэлектриком. ### Шаг 3: Расчёт ёмкости Общая ёмкость двух слоёв, расположенных последовательно, задается как сумма их электродов в серии: \[ \frac{1}{C_{\text{total}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \] где: - \( C_1 \) — ёмкость слоя без диэлектрика (воздух или вакуум), равна: \[ C_1 = \varepsilon_0 \frac{S}{d_1} \] - \( C_2 \) — ёмкость слоя с диэлектриком, равна: \[ C_2 = \varepsilon \varepsilon_0 \frac{S}{d_2} \] Но поскольку слой равен половине по высоте, при равных толщинах: - \( d_1 = d/2 \) - \( d_2 = d/2 \) Тогда: \[ C_1 = \varepsilon_0 \frac{S}{d/2} = 2 \varepsilon_0 \frac{S}{d} \] \[ C_2 = \varepsilon \varepsilon_0 \frac{S}{d/2} = 2 \varepsilon \varepsilon_0 \frac{S}{d} \] --- ### Шаг 4: Вычисление Подставляем числовые значения: - \(\varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12}\, \text{Ф/м}\) - \( S = 13 \times 10^{-4}\, \text{м}^2 \) - \( d = 1,5 \times 10^{-3}\, \text{м} \) - \( \varepsilon = 2 \) Получаем: \[ C_1 = 2 \times 8,85 \times 10^{-12} \times \frac{13 \times 10^{-4}}{1,5 \times 10^{-3}} \] Посчитаем числитель и знаменатель: \[ C_1 = 2 \times 8,85 \times 10^{-12} \times \frac{13 \times 10^{-4}}{1,5 \times 10^{-3}} \] \[ = 2 \times 8,85 \times 10^{-12} \times \frac{13 \times 10^{-4}}{1,5 \times 10^{-3}} \] Определим дробь: \[ \frac{13 \times 10^{-4}}{1,5 \times 10^{-3}} = \frac{13 \times 10^{-4}}{1,5 \times 10^{-3}} = \frac{13}{1.5} \times 10^{-4+3} = \frac{13}{1.5} \times 10^{-1} \approx 8.67 \times 10^{-1} = 0.867 \] Теперь: \[ C_1 = 2 \times 8,85 \times 10^{-12} \times 0.867 \approx 2 \times 8.85 \times 0.867 \times 10^{-12} \] Вычислим: \[ 8.85 \times 0.867 \approx 7.666 \] \[ 2 \times 7.666 \approx 15.332 \] Итак, \[ C_1 \approx 15.33 \times 10^{-12} \, \text{Ф} = 15.33\, \text{пФ} \] Теперь для \( C_2 \): \[ C_2 = 2 \times \varepsilon \times \varepsilon_0 \times \frac{S}{d} = 2 \times 2 \times 8,85 \times 10^{-12} \times 0.867 \] \[ = 4 \times 8.85 \times 0.867 \times 10^{-12} \] Вычислим: \[ 8.85 \times 0.867 \approx 7.666 \] \[ 4 \times 7.666 \approx 30.664 \] Следовательно, \[ C_2 \approx 30.66 \times 10^{-12}\, \text{Ф} = 30.66\, \text{пФ} \] --- ### Шаг 5: Общая ёмкость \( C_{\text{total}} \) Общая ёмкость для последовательных слоёв: \[ \frac{1}{C_{\text{total}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \] \[ \frac{1}{C_{\text{total}}} = \frac{1}{15.33 \times 10^{-12}} + \frac{1}{30.66 \times 10^{-12}} \] Рассчитаем: \[ \frac{1}{15.33 \times 10^{-12}} \approx 65.24 \times 10^{9} \] \[ \frac{1}{30.66 \times 10^{-12}} \approx 32.6 \times 10^{9} \] Суммируем: \[ 65.24 \times 10^{9} + 32.6 \times 10^{9} \approx 97.84 \times 10^{9} \] Обратное значение — это и есть итоговая ёмкость: \[ C_{\text{total}} \approx \frac{1}{97.84 \times 10^{9}} \approx 10.22 \times 10^{-12}\, \text{Ф} \] или примерно: \[ \boxed{ C_{\text{total}} \approx 10.2\, \text{пФ} } \] --- ### Итог: **Ёмкость такого плоского конденсатора, наполовину заполненного парафином, составляет примерно 10 пФ.** --- Если нужно что-то уточнить или есть дополнительные вопросы — обращайтесь!