Определить ёмкость плоского конденсатора (см. рис.), наполовину заполненного парафином (ε = 2). Площадь обкладок конденсатора S = 13 см2 , расстояние между обкладками d = 1, 5 мм.
Давайте подробно решим задачу по определению ёмкости плоского конденсатора, наполовину заполненного парафином, с учетом диэлектрической проницаемости ε = 2. В условии есть важные параметры:
- Площадь обкладок: S = 13 см²
- Расстояние между обкладками: d = 1,5 мм
- Диэлектрическая проницаемость парафина: ε = 2 (для парафиновой части)
- Частично заполнение — половина объема между обкладками — парафином.
Шаг 1: Переводим все величины в международные единицы
Площадь, S:
\( 13\, \text{см}^2 = 13 \times 10^{-4}\, \text{м}^2 \)
(так как \(1\, \text{см}^2 = 10^{-4}\, \text{м}^2\)).Расстояние d:
\( 1,5\, \text{мм} = 1,5 \times 10^{-3}\, \text{м} \).
Шаг 2: Представляем схему
Конденсатор – это две параллельные пластины с расстоянием d, заполненные наполовину диэлектриком (парафином).
Если заполнение — половина объема между пластинами, то можно представить, что конденсатор состоит из двух последовательных слоев:
- Верхняя половина: без диэлектрика (воздух или вакуум, ε = 1).
- Нижняя половина: с диэлектриком (ε = 2).
Но в данном случае заполнение идёт равномерно по объему, что предполагает, что их следует рассматривать как слоистую структуру, где половина площади и объема заполнена диэлектриком.
Шаг 3: Расчёт ёмкости
Общая ёмкость двух слоёв, расположенных последовательно, задается как сумма их электродов в серии:
\[ \frac{1}{C_{\text{total}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \]
где:
- \( C_1 \) — ёмкость слоя без диэлектрика (воздух или вакуум), равна:
\[ C_1 = \varepsilon_0 \frac{S}{d_1} \]
- \( C_2 \) — ёмкость слоя с диэлектриком, равна:
\[ C_2 = \varepsilon \varepsilon_0 \frac{S}{d_2} \]
Но поскольку слой равен половине по высоте, при равных толщинах:
- \( d_1 = d/2 \)
- \( d_2 = d/2 \)
Тогда:
\[ C_1 = \varepsilon_0 \frac{S}{d/2} = 2 \varepsilon_0 \frac{S}{d} \] \[ C_2 = \varepsilon \varepsilon_0 \frac{S}{d/2} = 2 \varepsilon \varepsilon_0 \frac{S}{d} \]
Шаг 4: Вычисление
Подставляем числовые значения:
- \(\varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12}\, \text{Ф/м}\)
- \( S = 13 \times 10^{-4}\, \text{м}^2 \)
- \( d = 1,5 \times 10^{-3}\, \text{м} \)
- \( \varepsilon = 2 \)
Получаем:
\[ C_1 = 2 \times 8,85 \times 10^{-12} \times \frac{13 \times 10^{-4}}{1,5 \times 10^{-3}} \]
Посчитаем числитель и знаменатель:
\[ C_1 = 2 \times 8,85 \times 10^{-12} \times \frac{13 \times 10^{-4}}{1,5 \times 10^{-3}} \]
\[ = 2 \times 8,85 \times 10^{-12} \times \frac{13 \times 10^{-4}}{1,5 \times 10^{-3}} \]
Определим дробь:
\[ \frac{13 \times 10^{-4}}{1,5 \times 10^{-3}} = \frac{13 \times 10^{-4}}{1,5 \times 10^{-3}} = \frac{13}{1.5} \times 10^{-4+3} = \frac{13}{1.5} \times 10^{-1} \approx 8.67 \times 10^{-1} = 0.867 \]
Теперь:
\[ C_1 = 2 \times 8,85 \times 10^{-12} \times 0.867 \approx 2 \times 8.85 \times 0.867 \times 10^{-12} \]
Вычислим:
\[ 8.85 \times 0.867 \approx 7.666 \] \[ 2 \times 7.666 \approx 15.332 \]
Итак,
\[ C_1 \approx 15.33 \times 10^{-12} \, \text{Ф} = 15.33\, \text{пФ} \]
Теперь для \( C_2 \):
\[ C_2 = 2 \times \varepsilon \times \varepsilon_0 \times \frac{S}{d} = 2 \times 2 \times 8,85 \times 10^{-12} \times 0.867 \] \[ = 4 \times 8.85 \times 0.867 \times 10^{-12} \]
Вычислим:
\[ 8.85 \times 0.867 \approx 7.666 \] \[ 4 \times 7.666 \approx 30.664 \]
Следовательно,
\[ C_2 \approx 30.66 \times 10^{-12}\, \text{Ф} = 30.66\, \text{пФ} \]
Шаг 5: Общая ёмкость \( C_{\text{total}} \)
Общая ёмкость для последовательных слоёв:
\[ \frac{1}{C_{\text{total}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \]
\[ \frac{1}{C_{\text{total}}} = \frac{1}{15.33 \times 10^{-12}} + \frac{1}{30.66 \times 10^{-12}} \]
Рассчитаем:
\[ \frac{1}{15.33 \times 10^{-12}} \approx 65.24 \times 10^{9} \] \[ \frac{1}{30.66 \times 10^{-12}} \approx 32.6 \times 10^{9} \]
Суммируем:
\[ 65.24 \times 10^{9} + 32.6 \times 10^{9} \approx 97.84 \times 10^{9} \]
Обратное значение — это и есть итоговая ёмкость:
\[ C_{\text{total}} \approx \frac{1}{97.84 \times 10^{9}} \approx 10.22 \times 10^{-12}\, \text{Ф} \]
или примерно:
\[ \boxed{ C_{\text{total}} \approx 10.2\, \text{пФ} } \]
Итог:
Ёмкость такого плоского конденсатора, наполовину заполненного парафином, составляет примерно 10 пФ.
Если нужно что-то уточнить или есть дополнительные вопросы — обращайтесь!
