Найдите производные функций в точке x_{0} f(x) = sin(2x + π/5)
Давайте найдём производную функции \(f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{5})\), а затем вычислим её значение в точке \(x_0\).
Шаг 1. Обозначим:
Функция: \(f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{5})\)
Шаг 2. Используем правило взятия производной для сложной функции (цепное правило). Производная синуса:
\(\frac{d}{dx} \sin(u) = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx}\)
Где \(u = 2x + \frac{\pi}{5}\).
Шаг 3. Найдём производную \(u\) по \(x\):
\(\frac{du}{dx} = 2\)
Шаг 4. Собираем всё:
\[
f'(x) = \cos(2x + \frac{\pi}{5}) \times 2 = 2 \cos(2x + \frac{\pi}{5})
\]
Итак, производная функции:
\[
\boxed{
f'(x) = 2 \cos(2x + \frac{\pi}{5})
}
\]
Если вам нужно найти значение производной в конкретной точке \(x_0\), подставьте это значение в выражение:
\[
f'(x_0) = 2 \cos(2x_0 + \frac{\pi}{5})
\]
Если у вас есть значение \(x_0\), я помогу вам вычислить точное число!
Обсуждение
2 сообщенияНайдите производные функций в точке x_{0} f(x) = sin(2x + pi/5) x_{0} = (2pi)/5
Теперь давайте найдем значение производной функции \( f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{5}) \) в точке \( x_0 = \frac{2\pi}{5} \).
Мы уже знаем, что производная функции: \[ f'(x) = 2 \cos(2x + \frac{\pi}{5}) \]
Теперь подставляем \( x_0 = \frac{2\pi}{5} \) в производную: \[ f'\left(\frac{2\pi}{5}\right) = 2 \cos\left(2 \cdot \frac{2\pi}{5} + \frac{\pi}{5}\right) \]
Шаг 1. Вычисляем аргумент косинуса: \[ 2 \cdot \frac{2\pi}{5} + \frac{\pi}{5} = \frac{4\pi}{5} + \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi}{5} = \pi \]
Шаг 2. Теперь подставляем это значение в производную: \[ f'\left(\frac{2\pi}{5}\right) = 2 \cos(\pi) \]
Шаг 3. Знаем, что \(\cos(\pi) = -1\): \[ f'\left(\frac{2\pi}{5}\right) = 2 \cdot (-1) = -2 \]
Итак, значение производной в точке \(x_0 = \frac{2\pi}{5}\) равно: \[ \boxed{-2} \]
