Найдите производные функций в точке x_{0} f(x) = sin(2x + π/5) x_{0} = (2π)/5

Давайте подробно найдём производную функции \(f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{5})\) и вычислим её значение в точке \(x_0 = \frac{2\pi}{5}\).

Шаг 1. Запись функции и понимание задачи

Функция: \[ f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{5}) \]

Нам нужно найти её производную \(f'(x)\), а затем подставить \(x = \frac{2\pi}{5}\).

Шаг 2. Найдём общую производную функции

Используем правило дифференцирования для сложной функции:
Если \(f(x) = \sin(g(x))\), то \[ f'(x) = \cos(g(x)) \cdot g'(x) \]

Здесь \(g(x) = 2x + \frac{\pi}{5}\).

\[ g'(x) = \frac{d}{dx} \left( 2x + \frac{\pi}{5} \right) = 2 \]

Следовательно, \[ f'(x) = \cos(2x + \frac{\pi}{5}) \cdot 2 \]

Итак, \[ f'(x) = 2 \cos(2x + \frac{\pi}{5}) \]

Шаг 3. Подставим \(x_0 = \frac{2\pi}{5}\)

Подставим значение \(x\):

\[ f' \left( \frac{2\pi}{5} \right) = 2 \cos \left( 2 \cdot \frac{2\pi}{5} + \frac{\pi}{5} \right) \]

Посчитаем внутренний угол:

\[ 2 \cdot \frac{2\pi}{5} = \frac{4\pi}{5} \]

Добавим \(\frac{\pi}{5}\):

\[ \frac{4\pi}{5} + \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi}{5} = \pi \]

Итак,

\[ f' \left( \frac{2\pi}{5} \right) = 2 \cos(\pi) \]

Знаем, что \(\cos(\pi) = -1\).

Следовательно,

\[ f' \left( \frac{2\pi}{5} \right) = 2 \times (-1) = -2 \]

Итог

Производная функции в точке \(x_0 = \frac{2\pi}{5}\):

\[ \boxed{-2} \]

Если есть ещё вопросы или нужна дополнительная помощь, обращайтесь!