Давайте подробно найдём производную функции (f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{5})) и вычислим её значение в точке (x_0 = \frac{2\pi}{5}).
Шаг 1. Запись функции и понимание задачи
Функция:
[
f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{5})
]
Нам нужно найти её производную (f'(x)), а затем подставить (x = \frac{2\pi}{5}).
Шаг 2. Найдём общую производную функции
Используем правило дифференцирования для сложной функции:
Если (f(x) = \sin(g(x))), то [
f'(x) = \cos(g(x)) \cdot g'(x)
]
Здесь (g(x) = 2x + \frac{\pi}{5}).
[
g'(x) = \frac{d}{dx} \left( 2x + \frac{\pi}{5} \right) = 2
]
Следовательно,
[
f'(x) = \cos(2x + \frac{\pi}{5}) \cdot 2
]
Итак,
[
f'(x) = 2 \cos(2x + \frac{\pi}{5})
]
Шаг 3. Подставим (x_0 = \frac{2\pi}{5})
Подставим значение (x):
[
f' \left( \frac{2\pi}{5} \right) = 2 \cos \left( 2 \cdot \frac{2\pi}{5} + \frac{\pi}{5} \right)
]
Посчитаем внутренний угол:
[
2 \cdot \frac{2\pi}{5} = \frac{4\pi}{5}
]
Добавим (\frac{\pi}{5}):
[
\frac{4\pi}{5} + \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi}{5} = \pi
]
Итак,
[
f' \left( \frac{2\pi}{5} \right) = 2 \cos(\pi)
]
Знаем, что (\cos(\pi) = -1).
Следовательно,
[
f' \left( \frac{2\pi}{5} \right) = 2 \times (-1) = -2
]
Итог
Производная функции в точке (x_0 = \frac{2\pi}{5}):
[
\boxed{-2}
]
Если есть ещё вопросы или нужна дополнительная помощь, обращайтесь!
