Решите

Конечно, давайте решим каждую задачу по порядку и подробно объясним решения. --- ### 1. Решите неравенство: \(\frac{3x^2 - 2x}{x - 8} > 0\) **Шаг 1. Определим области определения.** Делитель \(x - 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq 8\). Область определения: \(\mathbb{R} \setminus \{8\}\). **Шаг 2. Найдём нули числителя и знаменателя.** Числитель: \(3x^2 - 2x = x(3x - 2)\). Корни: \(x = 0\) и \(x = \frac{2}{3}\). Знаменатель: \(x - 8\), корень: \(x=8\). **Шаг 3. Построим числовую ось и отметим точки разбиения:** \(\dots, 0, \frac{2}{3}, 8, \dots\) **Шаг 4. Определим знаки выражения в каждом интервале.** Для тестирования выберем точки: - \(-\infty\) (например, \(-1\)), - \(\frac{1}{2}\) (между \(\frac{2}{3}\) и \(0\)), - \(1\) (между \(\frac{2}{3}\) и \(8\)), - \(9\) (более \(8\)). **Шаг 5. Проведём тестовые значения:** - **Для \(x = -1\)**: \[ \frac{3(-1)^2 - 2(-1)}{-1 - 8} = \frac{3 + 2}{-9} = \frac{5}{-9} < 0 \] - **Для \(x = 0.5\)**: \[ \frac{3(0.5)^2 - 2(0.5)}{0.5 - 8} = \frac{3 \times 0.25 - 1}{-7.5} = \frac{0.75 - 1}{-7.5} = \frac{-0.25}{-7.5} > 0 \] - **Для \(x = 1\)**: \[ \frac{3 - 2}{1 - 8} = \frac{1}{-7} < 0 \] - **Для \(x=9\)**: \[ \frac{3 \times 81 - 2 \times 9}{9-8} = \frac{243 - 18}{1} = 225 > 0 \] **Шаг 6. Итоговые знаки:** | Интервал | знак | включение точки? | |------------|------------------|------------------| | \((-\infty, 0)\) | < 0 | нет | | \((0, \frac{2}{3})\) | > 0 | Не включать, т.к. в точке ноль числитель=0, выражение = 0 не больше нуля | | \((\frac{2}{3}, 8)\) | < 0 | нет | | \((8, +\infty)\) | > 0 | не включаем 8 (знаменатель не определён в точке), включаем \(x \to\ 8^+\) — знак позитивный | **Ответ:** \[ \boxed{ \left(\frac{2}{3}, 8\right) } \] Но так как в интервале \((\frac{2}{3}, 8)\) знак отрицательный, и только в \((8, +\infty)\) знак положительный, то искомое решение: \[ \boxed{ (8, +\infty) } \] --- ### 2. Решите неравенство: \(\log_3(2x + 3) > -3\) **Шаг 1. Перепишем неравенство:** \[ \log_3(2x + 3) > -3 \] **Шаг 2. Преобразуем излогарифмическое неравенство в экспоненциальную форму:** \[ 2x + 3 > 3^{-3} \] Поскольку \(3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}\), \[ 2x + 3 > \frac{1}{27} \] **Шаг 3. Решим относительно \(x\):** \[ 2x > \frac{1}{27} - 3 \] \[ 2x > \frac{1 - 81}{27} = \frac{-80}{27} \] \[ x > \frac{-80}{54} = -\frac{40}{27} \] **Шаг 4. Условие области определения:** Чтобы логарифм был определён, аргумент \(2x + 3 > 0\), \[ 2x + 3 > 0 \Rightarrow x > -\frac{3}{2} \] **Шаг 5. Итог:** \[ x > \max\left(-\frac{3}{2}, -\frac{40}{27}\right) \] Преобразуем \(-\frac{3}{2} = -1.5\), а \(-\frac{40}{27} \approx -1.48\). Так как \(-1.48 > -1.5\), то максимум — \(-1.48\). **Ответ:** \[ x > -\frac{40}{27} \] с условием, что: \[ x > -\frac{3}{2} \] Но \(-\frac{40}{27} > -\frac{3}{2}\), поэтому окончательный ответ: \[ \boxed{ x > -\frac{40}{27} } \] --- ### 3. Решите уравнение: \(\sin x = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\) **Шаг 1. Найдём значение \(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\).** Косинус — чётная функция, значит: \[ \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \] **Шаг 2. Решаем уравнение:** \[ \sin x = \frac{1}{2} \] **Шаг 3. Общие решения для \(\sin x = \frac{1}{2}\):** На интервале \([0, 2\pi)\): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] **Ответ:** \[ \boxed{ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} } \] --- Если нужно решение остальных задач — скажите!