Решите
Конечно, давайте решим каждую задачу по порядку и подробно объясним решения.
1. Решите неравенство: \(\frac{3x^2 - 2x}{x - 8} > 0\)
Шаг 1. Определим области определения.
Делитель \(x - 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq 8\).
Область определения: \(\mathbb{R} \setminus \{8\}\).
Шаг 2. Найдём нули числителя и знаменателя.
Числитель: \(3x^2 - 2x = x(3x - 2)\).
Корни: \(x = 0\) и \(x = \frac{2}{3}\).
Знаменатель: \(x - 8\), корень: \(x=8\).
Шаг 3. Построим числовую ось и отметим точки разбиения:
\(\dots, 0, \frac{2}{3}, 8, \dots\)
Шаг 4. Определим знаки выражения в каждом интервале.
Для тестирования выберем точки:
- \(-\infty\) (например, \(-1\)),
- \(\frac{1}{2}\) (между \(\frac{2}{3}\) и \(0\)),
- \(1\) (между \(\frac{2}{3}\) и \(8\)),
- \(9\) (более \(8\)).
Шаг 5. Проведём тестовые значения:
- Для \(x = -1\): \[ \frac{3(-1)^2 - 2(-1)}{-1 - 8} = \frac{3 + 2}{-9} = \frac{5}{-9} < 0 \]
- Для \(x = 0.5\): \[ \frac{3(0.5)^2 - 2(0.5)}{0.5 - 8} = \frac{3 \times 0.25 - 1}{-7.5} = \frac{0.75 - 1}{-7.5} = \frac{-0.25}{-7.5} > 0 \]
- Для \(x = 1\): \[ \frac{3 - 2}{1 - 8} = \frac{1}{-7} < 0 \]
- Для \(x=9\): \[ \frac{3 \times 81 - 2 \times 9}{9-8} = \frac{243 - 18}{1} = 225 > 0 \]
Шаг 6. Итоговые знаки:
| Интервал | знак | включение точки? |
|---|---|---|
| \((-\infty, 0)\) | < 0 | нет |
| \((0, \frac{2}{3})\) | > 0 | Не включать, т.к. в точке ноль числитель=0, выражение = 0 не больше нуля |
| \((\frac{2}{3}, 8)\) | < 0 | нет |
| \((8, +\infty)\) | > 0 | не включаем 8 (знаменатель не определён в точке), включаем \(x \to\ 8^+\) — знак позитивный |
Ответ:
\[
\boxed{
\left(\frac{2}{3}, 8\right)
}
\]
Но так как в интервале \((\frac{2}{3}, 8)\) знак отрицательный, и только в \((8, +\infty)\) знак положительный, то искомое решение:
\[
\boxed{
(8, +\infty)
}
\]
2. Решите неравенство: \(\log_3(2x + 3) > -3\)
Шаг 1. Перепишем неравенство:
\[ \log_3(2x + 3) > -3 \]
Шаг 2. Преобразуем излогарифмическое неравенство в экспоненциальную форму:
\[ 2x + 3 > 3^{-3} \]
Поскольку \(3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}\),
\[ 2x + 3 > \frac{1}{27} \]
Шаг 3. Решим относительно \(x\):
\[ 2x > \frac{1}{27} - 3 \]
\[ 2x > \frac{1 - 81}{27} = \frac{-80}{27} \]
\[ x > \frac{-80}{54} = -\frac{40}{27} \]
Шаг 4. Условие области определения:
Чтобы логарифм был определён, аргумент \(2x + 3 > 0\),
\[ 2x + 3 > 0 \Rightarrow x > -\frac{3}{2} \]
Шаг 5. Итог:
\[ x > \max\left(-\frac{3}{2}, -\frac{40}{27}\right) \]
Преобразуем \(-\frac{3}{2} = -1.5\), а \(-\frac{40}{27} \approx -1.48\).
Так как \(-1.48 > -1.5\), то максимум — \(-1.48\).
Ответ:
\[
x > -\frac{40}{27}
\]
с условием, что:
\[ x > -\frac{3}{2} \]
Но \(-\frac{40}{27} > -\frac{3}{2}\), поэтому окончательный ответ:
\[ \boxed{ x > -\frac{40}{27} } \]
3. Решите уравнение: \(\sin x = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\)
Шаг 1. Найдём значение \(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\).
Косинус — чётная функция, значит:
\[ \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \]
Шаг 2. Решаем уравнение:
\[
\sin x = \frac{1}{2}
\]
Шаг 3. Общие решения для \(\sin x = \frac{1}{2}\):
На интервале \([0, 2\pi)\):
\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Ответ:
\[
\boxed{
x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
}
\]
Если нужно решение остальных задач — скажите!
