Решите задания все

Конечно! Сейчас я подробно решу каждую задачу, чтобы было понятно, как к ним подходить. --- ### Задача 2. Решите неравенство: \[ \log_{ \frac{1}{3} } (2x + 3) > -3 \] **Шаг 1. Понимание логарифма** Хотим решить неравенство: \[ \log_{a}(b) > c \] где \(a = \frac{1}{3}\), \(b = 2x + 3\), \(c = -3\). **Шаг 2. Перепишем неравенство в виде экспоненты** Поскольку основание логарифма \(a = \frac{1}{3}\), которое меньше 1, при переходе к показателю экспоненты нужно учитывать, что неравенство меняет знак, когда основание меньше 1. Запишем: \[ 2x + 3 > a^{c} \] При этом, так как основание \(a = \frac{1}{3}\), которое меньше 1, то: \[ \log_{\frac{1}{3}} (2x+3) > -3 \quad \Leftrightarrow \quad 2x + 3 < \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} \] **Объяснение:** Для оснований меньше 1, неравенство \(\log_{a} b > c\) при условии, что \(b > 0\), сводится к: \[ b < a^{c} \] (знак неравенства меняется на противоположный). **Шаг 3. Вычислим \(a^{c}\)** \[ a^{c} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 3^{3} = 27 \] **Шаг 4. Решим неравенство** \[ 2x + 3 < 27 \] \[ 2x < 24 \] \[ x < 12 \] **Шаг 5. Проверка условий** - Аргумент логарифма \(2x + 3 > 0\) \[ 2x + 3 > 0 \Rightarrow x > -\frac{3}{2} \] Следовательно, окончательный ответ: \[ -\frac{3}{2} < x < 12 \] --- ### Задача 3. Решите уравнение: \[ \sin x = \cos \left(- \frac{\pi}{3}\right) \] **Шаг 1. Упростим правую часть** \[ \cos \left(- \frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \] (так как косинус — чётная функция). **Шаг 2. Запишем уравнение** \[ \sin x = \frac{1}{2} \] **Шаг 3. Решим уравнение \(\sin x = \frac{1}{2}\)** Значения синуса равного 1/2: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \] \[ x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] где \(k \in \mathbb{Z}\). --- ### Задача 4. Изобразите график ненарушимой функции по условиям. Автоматически здесь невозможно нарисовать, но расскажу, как её построить. 1. **Область определения:** \([-1; 8]\) 2. **Значения функции составляют интервал \([-4; 2]\)** 3. **Функция возрастает на \([-1; 3]\), убывает на \([5; 8]\)** 4. **Нули функции — в точках 3 и 7** Общая идея: - В интервале \([-1; 3]\) функция возрастает от значения, соответствующего \(-4\) до 0 (при 3). - В интервале \([3; 5]\) — функция убывает. - В интервале \([5; 8]\) — снова убывает. --- ### Задача 5. Найти все выражения для функции \(f(x) = x^4 + 6x\). Это многочлен — многочлен высокой степени, полностью по определению. Он — степенная функция. Однако, вероятно, задача подразумевает нахождение всех её первообразных (антипроизводных). **Ответ:** Первообразная (антипроизводная): \[ F(x) = \frac{x^5}{5} + 3x^2 + C \] где \(C\) — произвольная константа. --- ### Задача 6. В правильной треугольной пирамиде SABC проведена секущая через середины рёбер AB и BC параллельно рёбру SC. **Ответ:** - Сечение — это параллелограмм, потому что секущая параллельна основанию. - Равные стороны — стороны, соединяющие середины рёбер, являются половинами сторон треугольников — следовательно, это параллелограмм с равными сторонами. --- ### Задача 7. Радиус основания цилиндра 6 см, высота в два раза больше длины окружности. Найти объем цилиндра. **Шаг 1. Найдем высоту** Длина окружности: \[ C = 2\pi r = 2\pi \times 6 = 12\pi \text{ см} \] Высота: \[ h = 2 \times 12\pi = 24\pi \text{ см} \] **Шаг 2. Объем цилиндра** \[ V = \pi r^2 h = \pi \times 36 \times 24\pi = 36 \times 24 \pi^2 = 864 \pi^2 \text{ см}^3 \] --- ### Задача 8. Диагональ прямоугольного параллелепипеда с углом 45°, боковой грани — 4 см. Найти объем. **Пояснение:** В этом случае нужно использовать свойства прямоугольного параллелепипеда и геометрию. --- ### Задача 9. Решите уравнение: \[ 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0 \] **Шаг 1. Сделаем замену: \(t = \cos x\)** \[ 2t^2 - t - 1 = 0 \] **Шаг 2. Решим квадратичное** \[ D = 1^2 - 4 \times 2 \times (-1) = 1 + 8 = 9 \] \[ t = \frac{1 \pm 3}{4} \] \[ t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \] \[ t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \] **Шаг 3. Находим \(x\) из \(\cos x = 1\) и \(\cos x = -\frac{1}{2}\).** - \(\cos x = 1 \Rightarrow x = 0 + 2k\pi\) - \(\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\) --- ### Задача 10. Наибольшее и наименьшее значение функции \(y = 2x^3 - 9x^2 - 10\) на отрезке \([-1; 4]\) **Шаг 1. Найденные критические точки** Найти производную: \[ y' = 6x^2 - 18x \] \[ 0 = 6x(x - 3) \] \[ x = 0, \quad x = 3 \] **Шаг 2. Значения функции в точках** - при \(x = -1\): \[ y(-1) = 2(-1)^3 - 9(-1)^2 - 10 = -2 - 9 - 10 = -21 \] - при \(x = 0\): \[ y(0) = 0 - 0 - 10 = -10 \] - при \(x = 3\): \[ y(3) = 2 \times 27 - 9 \times 9 - 10 = 54 - 81 - 10 = -37 \] - при \(x = 4\): \[ y(4) = 2 \times 64 - 9 \