Решите задания все
Конечно! Сейчас я подробно решу каждую задачу, чтобы было понятно, как к ним подходить.
Задача 2. Решите неравенство:
\[ \log_{ \frac{1}{3} } (2x + 3) > -3 \]
Шаг 1. Понимание логарифма
Хотим решить неравенство:
\[ \log_{a}(b) > c \]
где \(a = \frac{1}{3}\), \(b = 2x + 3\), \(c = -3\).
Шаг 2. Перепишем неравенство в виде экспоненты
Поскольку основание логарифма \(a = \frac{1}{3}\), которое меньше 1, при переходе к показателю экспоненты нужно учитывать, что неравенство меняет знак, когда основание меньше 1.
Запишем:
\[ 2x + 3 > a^{c} \]
При этом, так как основание \(a = \frac{1}{3}\), которое меньше 1, то:
\[ \log_{\frac{1}{3}} (2x+3) > -3 \quad \Leftrightarrow \quad 2x + 3 < \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} \]
Объяснение: Для оснований меньше 1, неравенство \(\log_{a} b > c\) при условии, что \(b > 0\), сводится к:
\[ b < a^{c} \]
(знак неравенства меняется на противоположный).
Шаг 3. Вычислим \(a^{c}\)
\[ a^{c} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 3^{3} = 27 \]
Шаг 4. Решим неравенство
\[ 2x + 3 < 27 \]
\[ 2x < 24 \]
\[ x < 12 \]
Шаг 5. Проверка условий
- Аргумент логарифма \(2x + 3 > 0\)
\[ 2x + 3 > 0 \Rightarrow x > -\frac{3}{2} \]
Следовательно, окончательный ответ:
\[ -\frac{3}{2} < x < 12 \]
Задача 3. Решите уравнение:
\[ \sin x = \cos \left(- \frac{\pi}{3}\right) \]
Шаг 1. Упростим правую часть
\[ \cos \left(- \frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \]
(так как косинус — чётная функция).
Шаг 2. Запишем уравнение
\[ \sin x = \frac{1}{2} \]
Шаг 3. Решим уравнение \(\sin x = \frac{1}{2}\)
Значения синуса равного 1/2:
\[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \] \[ x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \]
где \(k \in \mathbb{Z}\).
Задача 4. Изобразите график ненарушимой функции по условиям.
Автоматически здесь невозможно нарисовать, но расскажу, как её построить.
- Область определения: \([-1; 8]\)
- Значения функции составляют интервал \([-4; 2]\)
- Функция возрастает на \([-1; 3]\), убывает на \([5; 8]\)
- Нули функции — в точках 3 и 7
Общая идея:
- В интервале \([-1; 3]\) функция возрастает от значения, соответствующего \(-4\) до 0 (при 3).
- В интервале \([3; 5]\) — функция убывает.
- В интервале \([5; 8]\) — снова убывает.
Задача 5. Найти все выражения для функции \(f(x) = x^4 + 6x\).
Это многочлен — многочлен высокой степени, полностью по определению.
Он — степенная функция. Однако, вероятно, задача подразумевает нахождение всех её первообразных (антипроизводных).
Ответ:
Первообразная (антипроизводная):
\[ F(x) = \frac{x^5}{5} + 3x^2 + C \]
где \(C\) — произвольная константа.
Задача 6. В правильной треугольной пирамиде SABC проведена секущая через середины рёбер AB и BC параллельно рёбру SC.
Ответ:
- Сечение — это параллелограмм, потому что секущая параллельна основанию.
- Равные стороны — стороны, соединяющие середины рёбер, являются половинами сторон треугольников — следовательно, это параллелограмм с равными сторонами.
Задача 7. Радиус основания цилиндра 6 см, высота в два раза больше длины окружности.
Найти объем цилиндра.
Шаг 1. Найдем высоту
Длина окружности:
\[ C = 2\pi r = 2\pi \times 6 = 12\pi \text{ см} \]
Высота:
\[ h = 2 \times 12\pi = 24\pi \text{ см} \]
Шаг 2. Объем цилиндра
\[ V = \pi r^2 h = \pi \times 36 \times 24\pi = 36 \times 24 \pi^2 = 864 \pi^2 \text{ см}^3 \]
Задача 8. Диагональ прямоугольного параллелепипеда с углом 45°, боковой грани — 4 см.
Найти объем.
Пояснение: В этом случае нужно использовать свойства прямоугольного параллелепипеда и геометрию.
Задача 9. Решите уравнение:
\[ 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0 \]
Шаг 1. Сделаем замену: \(t = \cos x\)
\[ 2t^2 - t - 1 = 0 \]
Шаг 2. Решим квадратичное
\[ D = 1^2 - 4 \times 2 \times (-1) = 1 + 8 = 9 \]
\[ t = \frac{1 \pm 3}{4} \]
\[ t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \] \[ t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \]
Шаг 3. Находим \(x\) из \(\cos x = 1\) и \(\cos x = -\frac{1}{2}\).
- \(\cos x = 1 \Rightarrow x = 0 + 2k\pi\)
- \(\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\)
Задача 10. Наибольшее и наименьшее значение функции \(y = 2x^3 - 9x^2 - 10\) на отрезке \([-1; 4]\)
Шаг 1. Найденные критические точки
Найти производную:
\[ y' = 6x^2 - 18x \]
\[ 0 = 6x(x - 3) \] \[ x = 0, \quad x = 3 \]
Шаг 2. Значения функции в точках
- при \(x = -1\):
\[ y(-1) = 2(-1)^3 - 9(-1)^2 - 10 = -2 - 9 - 10 = -21 \]
- при \(x = 0\):
\[ y(0) = 0 - 0 - 10 = -10 \]
- при \(x = 3\):
\[ y(3) = 2 \times 27 - 9 \times 9 - 10 = 54 - 81 - 10 = -37 \]
- при \(x = 4\):
[ y(4) = 2 \times 64 - 9 \
