sin 2x=корень 2/2

Рассмотрим задачу:
\[ \sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Цель: понять решение этой тригонометрической уравнения.

Шаг 1. Вспомним свойства функции синуса

Значение \(\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\) при определённых углах. В общем случае:

\[ \sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad \theta = 45^\circ + 360^\circ n \quad \text{или} \quad 135^\circ + 360^\circ n, \] где \(n\) — целое число, потому что синус — периодическая функция с периодом 360° (или \(2\pi\) радиан).

Шаг 2. Решим уравнение \(\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Здесь у нас:

\[ 2x = \theta, \] где \(\theta\) — искомый угол.

Как мы уже знаем, \(\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\) при:

• \(\theta = 45^\circ + 360^\circ n\),
• \(\theta = 135^\circ + 360^\circ n\).

В радианах эти значения:

\[ \theta = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad \text{и} \quad \theta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \] где \(n \in \mathbb{Z}\).

Шаг 3. Найдём \(x\)

Итак,

\[ 2x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad \text{или} \quad 2x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \] откуда:

\[ x = \frac{\pi}{8} + \pi n, \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{8} + \pi n. \]

Ответ:

\[ x = \frac{\pi}{8} + \pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{8} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. \]

Итог:

Это все решения уравнения \(\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}\), учитывая периодичность функции синуса.

Если нужно — могу помочь с переводом в градусы или с графиком!