Давайте разберемся с выражением: (\log 2^2 - \log \frac{1}{4}).
Для начала уточним, что, скорее всего, подразумевается логарифм по основанию 2, то есть (\log_2). Если это так, то запишем задачу в виде:
[
\log_2 2^2 - \log_2 \frac{1}{4}
]
Шаг 1: Используем свойства логарифмов
Свойство 1: (\log_b a^k = k \log_b a)
Свойство 2: (\log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c})
Шаг 2: Применяем свойства к выражению
Первое слагаемое:
[
\log_2 2^2 = 2 \log_2 2
]
Знаем, что (\log_2 2 = 1), так как базовый логарифм числа 2 равен 1.
Второе слагаемое:
[
\log_2 \frac{1}{4}
]
Можно переписать (\frac{1}{4}) как (4^{-1}). Но лучше использовать свойство логарифмов:
[
\log_2 \frac{1}{4} = \log_2 1 - \log_2 4
]
Но проще: ( \frac{1}{4} = 2^{-2} ), так как (4 = 2^2), а значит:
[
\log_2 \frac{1}{4} = \log_2 2^{-2} = -2 \log_2 2
]
И, так как (\log_2 2=1), получаем:
[
\log_2 \frac{1}{4} = -2
]
Шаг 3: Подставляем полученные значения
Теперь:
[
\log_2 2^2 = 2 \times 1 = 2
]
И:
[
\log_2 \frac{1}{4} = -2
]
Итак, наше выражение:
[
2 - (-2) = 2 + 2 = 4
]
Ответ:
[
\boxed{4}
]
Если есть дополнительные вопросы — обращайтесь!
