Заказ на 126 открыток первый дизайнер выполняет на 5 часов быстрее, чем второй. Сколько открыток за час изготавливает первый дизайнер, если известно, что он за час может…

Давайте поэтапно разберём задачу и найдём решение.

Дано:

• Заказ — 126 открыток.
• Первый дизайнер делает за 5 часов меньше, чем второй.
• За час первый дизайнер изготавливает на 5 открыток больше, чем второй.

Обозначим:

• \( x \) — количество открыток, которые делает за час второй дизайнер.
• Тогда за час первый дизайнер делает \( x + 5 \).

Обозначим \( t_2 \) — время, за которое второй дизайнер выполнит заказ (в часах). Обозначим \( t_1 \) — время, за которое выполнит заказ первый дизайнер.

Из условия:

• Первый дизайнер делает за час \( x + 5 \) открыток.
• Второй — \( x \) открыток за час.
• Первый дизайнер выполняет заказ за \( t_1 \) часов, значит: \[ \text{Общее количество} = (x + 5) \times t_1 = 126 \]
• Второй — за \( t_2 \) часов: \[ x \times t_2 = 126 \]

Также известно, что первый дизайнер быстрее на 5 часов: \[ t_2 = t_1 + 5 \]

Шаг 1: выразим \( t_1 \) и \( t_2 \):

\[ t_1 = \frac{126}{x + 5} \] \[ t_2 = \frac{126}{x} \]

Шаг 2: используем условие разницы во времени:

\[ t_2 = t_1 + 5 \]

Подставим выражения: \[ \frac{126}{x} = \frac{126}{x + 5} + 5 \]

Шаг 3: упростим уравнение:

\[ \frac{126}{x} - \frac{126}{x + 5} = 5 \]

Объединим левую часть, найдя общий знаменатель: \[ \frac{126(x + 5) - 126x}{x(x + 5)} = 5 \]

Раскроем числитель: \[ \frac{126x + 630 - 126x}{x(x + 5)} = 5 \]

Члены \( 126x \) сокращаются: \[ \frac{630}{x(x + 5)} = 5 \]

Шаг 4: выразим \( x(x + 5) \):

\[ x(x + 5) = \frac{630}{5} \] \[ x(x + 5) = 126 \]

Раскроем скобки: \[ x^2 + 5x = 126 \]

Перенесем всё в левую сторону: \[ x^2 + 5x - 126 = 0 \]

Это квадратичное уравнение.

Шаг 5: решим квадратное уравнение:

Дискриминант: \[ D = 5^2 - 4 \times 1 \times (-126) = 25 + 504 = 529 \]

Корень дискриминанта: \[ \sqrt{D} = \sqrt{529} = 23 \]

Решения уравнения: \[ x = \frac{-5 \pm 23}{2} \]

Варианты:

1. \( x = \frac{-5 + 23}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
2. \( x = \frac{-5 - 23}{2} = \frac{-28}{2} = -14 \)

Поскольку количество открыток за час не может быть отрицательным, выбираем положительный вариант: \[ x = 9 \]

Ответ:

Первый дизайнер за час изготавливает 9 открыток.