Давайте поэтапно разберём задачу и найдём решение.
Дано:
- Заказ — 126 открыток.
- Первый дизайнер делает за 5 часов меньше, чем второй.
- За час первый дизайнер изготавливает на 5 открыток больше, чем второй.
Обозначим:
- ( x ) — количество открыток, которые делает за час второй дизайнер.
- Тогда за час первый дизайнер делает ( x + 5 ).
Обозначим ( t_2 ) — время, за которое второй дизайнер выполнит заказ (в часах).
Обозначим ( t_1 ) — время, за которое выполнит заказ первый дизайнер.
Из условия:
- Первый дизайнер делает за час ( x + 5 ) открыток.
- Второй — ( x ) открыток за час.
- Первый дизайнер выполняет заказ за ( t_1 ) часов, значит:
[
\text{Общее количество} = (x + 5) \times t_1 = 126
]
- Второй — за ( t_2 ) часов:
[
x \times t_2 = 126
]
Также известно, что первый дизайнер быстрее на 5 часов:
[
t_2 = t_1 + 5
]
Шаг 1: выразим ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
t_1 = \frac{126}{x + 5}
]
[
t_2 = \frac{126}{x}
]
Шаг 2: используем условие разницы во времени:
[
t_2 = t_1 + 5
]
Подставим выражения:
[
\frac{126}{x} = \frac{126}{x + 5} + 5
]
Шаг 3: упростим уравнение:
[
\frac{126}{x} - \frac{126}{x + 5} = 5
]
Объединим левую часть, найдя общий знаменатель:
[
\frac{126(x + 5) - 126x}{x(x + 5)} = 5
]
Раскроем числитель:
[
\frac{126x + 630 - 126x}{x(x + 5)} = 5
]
Члены ( 126x ) сокращаются:
[
\frac{630}{x(x + 5)} = 5
]
Шаг 4: выразим ( x(x + 5) ):
[
x(x + 5) = \frac{630}{5}
]
[
x(x + 5) = 126
]
Раскроем скобки:
[
x^2 + 5x = 126
]
Перенесем всё в левую сторону:
[
x^2 + 5x - 126 = 0
]
Это квадратичное уравнение.
Шаг 5: решим квадратное уравнение:
Дискриминант:
[
D = 5^2 - 4 \times 1 \times (-126) = 25 + 504 = 529
]
Корень дискриминанта:
[
\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23
]
Решения уравнения:
[
x = \frac{-5 \pm 23}{2}
]
Варианты:
- ( x = \frac{-5 + 23}{2} = \frac{18}{2} = 9 )
- ( x = \frac{-5 - 23}{2} = \frac{-28}{2} = -14 )
Поскольку количество открыток за час не может быть отрицательным, выбираем положительный вариант:
[
x = 9
]
Ответ:
Первый дизайнер за час изготавливает 9 открыток.
