Параллелограмм и трапеция 48. Параллелограмм Определение Параллелограммом называется четырёхуголь- ник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. На рисунке 188 изображён параллелограмм ABCD: ABICD, AD|BC. Параллелограмм является выпуклым четырёхугольником (см. задачу 478 на с. 127). B Рассмотрим некоторые свойства параллелограмма. Рис. 188 10. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 189). Диагональ АС разделяет его на два треугольника: ABС и CDA. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (AC - общая сторона, 21 = 22 и 23 = 24 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD, AD и BC соответственно). Поэтому Рис. 189 AB =CD, AD = BC и ZB = ZD. Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем ZA = Z1 + Z3 = 22 + 24 = ZC. 20. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. B Пусть О - точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD (рис. 190). Треугольники AОВ и COD равны по стороне и двум прилежащим углам (AB = CD как противоположные стороны параллелограмма, 21 = /2 и /3 = 24 D Рис. 190 124 Глава VI как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AВ и CD секущими AC и BD соответственно). Поэтому AO =OC и OB= OD, что и требовалось доказать. Рисунок 191 иллюстрирует все рассмотренные свойства. 49. Признаки параллелограмма Рассмотрим три признака параллелограмма. 10. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм. Пусть в четырёхугольнике ABCD стороны АВ и CD параллельны и AВ =CD (см. рис. 189). Свойства параллелограмма Проведём диагональ АС, разделяющую данный четырёхугольник на два треугольника: ABС и CDA. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (АС - общая сторона, AB = CD по условию, 21 = 22 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AВ и CD секущей AC), поэтому 23 = 24. Но углы 3 и 4 накрест лежащие при пересечении прямых AD и ВС секущей AC, следовательно, AD BC. Рис. 191 Таким образом, в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, а значит, четырёхугольник ABCD - параллелограмм. 20. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхуголь- ник - параллелограмм. Проведём диагональ АС данного четырёх- угольника ABCD, разделяющую его на треугольники ABC и CDA (рис. 189). Эти треугольники равны по трём сторонам (АС - общая сторона, AB=CD и BC= DA по условию), поэтому Z1 = Z2. Отсюда следует, что AB CD. Так 125 Четырёхугольники как AB=CD и AB||CD, то по признаку 1° четы- рёхугольник ABCD - параллелограмм. 30. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм. Рассмотрим четырёхугольник ABCD, в котором диагонали АС и BD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам (см. рис. 190). Треугольники AОB и COD равны по первому признаку равенства треугольников (АО - ОС, BO=OD по условию, ZAOB= ZCOD как вертикальные углы), поэтому AB CD и 21 = 42. Из равенства углов 1 и 2 следует, что AB || CD. Итак, в четырёхугольнике ABCD стороны AВ и CD равны и параллельны, значит, по признаку 10 четырёхугольник ABCD - параллелограмм. Основание 50. Трапеция Боковая сторона Боковая сторона Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны - боковыми сторонами (рис. 192). Основание Рис. 192 a) Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны (рис. 193, а). Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной (рис. 193, б).