Давайте разберем задачу пошагово и найдем амплитуду колебаний маятника.
Дано:
- Период колебаний ( T = 2 ) с
- Начальное отклонение (амплитуда, если бы мы его считали) — ( x_0 = 15 \text{ см} )
- Начальная скорость ( v_0 = 29 \text{ см/с} )
Задача: найти амплитуду свободных колебаний ( A ) после толчка.
Шаг 1: Запишем основные параметры для маятника
Период колебаний в гармоническом движении связан с частотой:
[
\omega = \frac{2\pi}{T}
]
Подставим ( T = 2 ) с:
[
\omega = \frac{2\pi}{2} = \pi \text{ рад/с}
]
Шаг 2: Запишем общее решение движения
Для гармонического колебания:
[
x(t) = A \sin(\omega t + \phi)
]
где
- ( A ) — амплитуда, которую нужно найти,
- ( \phi ) — начальная фаза, определяемая начальными условиями.
Начальные условия: в момент времени ( t=0 ),
[
x(0) = x_0 = 15 \text{ см}
]
[
v(0) = v_0 = 29 \text{ см/с}
]
Шаг 3: Найдём начальную фазу и амплитуду из начальных условий
Общие выражения для позиции и скорости:
[
x(t) = A \sin(\omega t + \phi)
]
[
v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi)
]
В момент ( t=0 ):
[
x(0) = A \sin(\phi) = 15
]
[
v(0) = A \omega \cos(\phi) = 29
]
Шаг 4: Выразим ( \sin(\phi) ) и ( \cos(\phi) )
Из первого уравнения:
[
A \sin(\phi) = 15
]
Из второго:
[
A \omega \cos(\phi) = 29
]
Разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от ( A ):
[
\frac{A \omega \cos(\phi)}{A \sin(\phi)} = \frac{29}{15}
]
[
\omega \frac{\cos(\phi)}{\sin(\phi)} = \frac{29}{15}
]
[
\omega \cot(\phi) = \frac{29}{15}
]
Подставим (\omega = \pi):
[
\pi \cot(\phi) = \frac{29}{15}
]
[
\cot(\phi) = \frac{29}{15 \pi}
]
Тогда
[
\sin(\phi) = \frac{15}{A}
]
[
\cos(\phi) = \frac{29}{A \omega} = \frac{29}{A \pi}
]
Используем тождество:
[
\sin^2(\phi) + \cos^2(\phi) = 1
]
Подставим выражения:
[
\left(\frac{15}{A}\right)^2 + \left(\frac{29}{A \pi}\right)^2 = 1
]
Шаг 5: Решим уравнение для (A)
Очистим уравнение от дробей:
[
\frac{225}{A^2} + \frac{841}{A^2 \pi^2} = 1
]
Объединим левую часть:
[
\frac{225 \pi^2 + 841}{A^2 \pi^2} = 1
]
Выразим (A^2):
[
A^2 = 225 \pi^2 + 841
]
Вычислим:
[
A = \sqrt{225 \pi^2 + 841}
]
Подставим (\pi \approx 3.1416):
[
A = \sqrt{225 \times (3.1416)^2 + 841}
]
Посчитаем:
[
\pi^2 \approx 9.8696
]
[
225 \times 9.8696 \approx 2220.66
]
Тогда:
[
A = \sqrt{2220.66 + 841} = \sqrt{3061.66}
]
Найдем корень:
[
A \approx \sqrt{3061.66} \approx 55.34 \text{ см}
]
Ответ:
Амплитуда свободных колебаний маятника после такого толчка составляет примерно (\boxed{55.34 \text{ см}}).
