математический маятник имеет период свободных колебаний 2с. Маятник отклонили от положения равновесия на 15 см и придали ему начальную скорость 29см/с в сторону к равновесной…

Давайте разберем задачу пошагово и найдем амплитуду колебаний маятника.

Дано:

• Период колебаний \( T = 2 \) с
• Начальное отклонение (амплитуда, если бы мы его считали) — \( x_0 = 15 \text{ см} \)
• Начальная скорость \( v_0 = 29 \text{ см/с} \)

Задача: найти амплитуду свободных колебаний \( A \) после толчка.

Шаг 1: Запишем основные параметры для маятника

Период колебаний в гармоническом движении связан с частотой:
\[ \omega = \frac{2\pi}{T} \]

Подставим \( T = 2 \) с:
\[ \omega = \frac{2\pi}{2} = \pi \text{ рад/с} \]

Шаг 2: Запишем общее решение движения

Для гармонического колебания:
\[ x(t) = A \sin(\omega t + \phi) \] где

• \( A \) — амплитуда, которую нужно найти,
• \( \phi \) — начальная фаза, определяемая начальными условиями.

Начальные условия: в момент времени \( t=0 \),
\[ x(0) = x_0 = 15 \text{ см} \] \[ v(0) = v_0 = 29 \text{ см/с} \]

Шаг 3: Найдём начальную фазу и амплитуду из начальных условий

Общие выражения для позиции и скорости:
\[ x(t) = A \sin(\omega t + \phi) \] \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi) \]

В момент \( t=0 \):
\[ x(0) = A \sin(\phi) = 15 \] \[ v(0) = A \omega \cos(\phi) = 29 \]

Шаг 4: Выразим \( \sin(\phi) \) и \( \cos(\phi) \)

Из первого уравнения:
\[ A \sin(\phi) = 15 \] Из второго:
\[ A \omega \cos(\phi) = 29 \]

Разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от \( A \):
\[ \frac{A \omega \cos(\phi)}{A \sin(\phi)} = \frac{29}{15} \] \[ \omega \frac{\cos(\phi)}{\sin(\phi)} = \frac{29}{15} \] \[ \omega \cot(\phi) = \frac{29}{15} \]

Подставим \(\omega = \pi\):
\[ \pi \cot(\phi) = \frac{29}{15} \] \[ \cot(\phi) = \frac{29}{15 \pi} \]

Тогда
\[ \sin(\phi) = \frac{15}{A} \] \[ \cos(\phi) = \frac{29}{A \omega} = \frac{29}{A \pi} \]

Используем тождество:
\[ \sin^2(\phi) + \cos^2(\phi) = 1 \]

Подставим выражения:
\[ \left(\frac{15}{A}\right)^2 + \left(\frac{29}{A \pi}\right)^2 = 1 \]

Шаг 5: Решим уравнение для \(A\)

Очистим уравнение от дробей:
\[ \frac{225}{A^2} + \frac{841}{A^2 \pi^2} = 1 \]

Объединим левую часть:
\[ \frac{225 \pi^2 + 841}{A^2 \pi^2} = 1 \]

Выразим \(A^2\):
\[ A^2 = 225 \pi^2 + 841 \]

Вычислим:
\[ A = \sqrt{225 \pi^2 + 841} \]

Подставим \(\pi \approx 3.1416\):
\[ A = \sqrt{225 \times (3.1416)^2 + 841} \]

Посчитаем:
\[ \pi^2 \approx 9.8696 \] \[ 225 \times 9.8696 \approx 2220.66 \]

Тогда:
\[ A = \sqrt{2220.66 + 841} = \sqrt{3061.66} \]

Найдем корень:
\[ A \approx \sqrt{3061.66} \approx 55.34 \text{ см} \]

Ответ:

Амплитуда свободных колебаний маятника после такого толчка составляет примерно \(\boxed{55.34 \text{ см}}\).