В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 10 дм высота равна 8дм найдите объем пирамиды

Давайте решим задачу поэтапно, объясняя каждый шаг. Задача говорит о правильной треугольной пирамиде, боковое ребро которой равно 10 дм, а высота — 8 дм. Нужно найти объем пирамиды. ### Шаг 1. Определим, что означает "правильная треугольная пирамида" В правильной треугольной пирамиде: - Основание — правильный треугольник - Все боковые ребра равны ### Шаг 2. Обозначения и известные данные - Обозначим: - \( R = 10 \) дм — длина бокового ребра - \( h = 8 \) дм — высота пирамиды (расстояние от вершины до основания по перпендикуляру) Нам нужно найти объем пирамиды, для этого нужно: \[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \times h_{осн} \] где: - \( S_{осн} \) — площадь основания - \( h_{осн} \) — высота основания (расстояние от центра основания до его вершины) ### Шаг 3. Построение схемы и разбор геометрии Пусть: - \( O \) — вершина пирамиды - \( ABC \) — основание, правильный треугольник с вершинами \( A, B, C \) - \( O \) — вершина, перпендикулярная основанию, опущен он в точку \( O' \) Так как пирамида правильная, то: - \( O' \) — центр основания \( ABC \) - Высота \( h = 8 \) дм — от \( O \) до \( O' \) Боковое ребро \( R \) — это длина сегмента \( OA \) (или \( OB \), \( OC \)). ### Шаг 4. Связь между боковым ребром, высотой и основанием Рассмотрим треугольник \( O A O' \): - \( O A = R = 10 \) дм - \( O O' = h = 8 \) дм — высота пирамиды - \( A O' \) — от центра основания до вершины \( A \). В правильном треугольнике радиус окружности, описанной около основания, равен радиусу описанной окружности. Так как основание — правильный треугольник, то: - Центр \( O' \) — центр треугольника - \( A O' \) — радиус описанной окружности правильного треугольника Длина радиуса описанной окружности правильного треугольника со стороной \( a \): \[ R_{опис} = \frac{a}{\sqrt{3}} \] Но сначала нужно найти сторону основания \( a \). ### Шаг 5. Использование тригонометрии для поиска стороны основания \( a \) Рассмотрим треугольник \( O A O' \): - Он прямой, так как \( O O' \) перпендикулярна основанию. - \( O A \) — гипотенуза, \( O O' = 8 \) дм, \( A O' \) — катет, связанный со стороной \( a \). Рассмотрим радиус окружности вокруг основания: - Центр \( O' \), вершина \( A \) на окружности. Длина \( A O' \) — это радиус окружности: \[ A O' = \frac{a}{\sqrt{3}} \] Треугольник \( O A O' \), где: \[ O A = 10 \text{ (боковое ребро)}, \quad O O' = 8 \] Используем теорему Пифагора для нахождения \( A O' \): \[ A O' = \sqrt{O A^2 - O O'^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \] Отсюда: \[ A O' = \frac{a}{\sqrt{3}} = 6 \] Следовательно: \[ a = 6 \sqrt{3} \] ### Шаг 6. Найдите площадь основания Площадь правильного треугольника с стороной \( a \): \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Подставим значение \( a = 6 \sqrt{3} \): \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (6\sqrt{3})^2 \] Вычислим: \[ (6 \sqrt{3})^2 = 36 \times 3 = 108 \] Тогда: \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 108 = \frac{108 \sqrt{3}}{4} = 27 \sqrt{3} \] ### Шаг 7. Найдите объем пирамиды Объем: \[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \times h = \frac{1}{3} \times 27 \sqrt{3} \times 8 \] Вычисляем: \[ V = 9 \sqrt{3} \times 8 = 72 \sqrt{3} \] ### **Ответ:** Объем пирамиды равен **\( 72 \sqrt{3} \) кубических дециметров**. **Округляя численно:** \[ \sqrt{3} \approx 1{,}732 \] \[ V \approx 72 \times 1,732 \approx 124,7 \] **Итак:** ### Итог: **Объем пирамиды ≈ 124,7 дм³**