В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 10 дм высота равна 8дм найдите объем пирамиды

Давайте решим задачу поэтапно, объясняя каждый шаг. Задача говорит о правильной треугольной пирамиде, боковое ребро которой равно 10 дм, а высота — 8 дм. Нужно найти объем пирамиды.

Шаг 1. Определим, что означает "правильная треугольная пирамида"

В правильной треугольной пирамиде:

• Основание — правильный треугольник
• Все боковые ребра равны

Шаг 2. Обозначения и известные данные

• Обозначим:
  • \( R = 10 \) дм — длина бокового ребра
  • \( h = 8 \) дм — высота пирамиды (расстояние от вершины до основания по перпендикуляру)

Нам нужно найти объем пирамиды, для этого нужно: \[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \times h_{осн} \] где:

• \( S_{осн} \) — площадь основания
• \( h_{осн} \) — высота основания (расстояние от центра основания до его вершины)

Шаг 3. Построение схемы и разбор геометрии

Пусть:

• \( O \) — вершина пирамиды
• \( ABC \) — основание, правильный треугольник с вершинами \( A, B, C \)
• \( O \) — вершина, перпендикулярная основанию, опущен он в точку \( O' \)

Так как пирамида правильная, то:

• \( O' \) — центр основания \( ABC \)
• Высота \( h = 8 \) дм — от \( O \) до \( O' \)

Боковое ребро \( R \) — это длина сегмента \( OA \) (или \( OB \), \( OC \)).

Шаг 4. Связь между боковым ребром, высотой и основанием

Рассмотрим треугольник \( O A O' \):

• \( O A = R = 10 \) дм
• \( O O' = h = 8 \) дм — высота пирамиды
• \( A O' \) — от центра основания до вершины \( A \). В правильном треугольнике радиус окружности, описанной около основания, равен радиусу описанной окружности.

Так как основание — правильный треугольник, то:

• Центр \( O' \) — центр треугольника
• \( A O' \) — радиус описанной окружности правильного треугольника

Длина радиуса описанной окружности правильного треугольника со стороной \( a \): \[ R_{опис} = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

Но сначала нужно найти сторону основания \( a \).

Шаг 5. Использование тригонометрии для поиска стороны основания \( a \)

Рассмотрим треугольник \( O A O' \):

• Он прямой, так как \( O O' \) перпендикулярна основанию.
• \( O A \) — гипотенуза, \( O O' = 8 \) дм, \( A O' \) — катет, связанный со стороной \( a \).

Рассмотрим радиус окружности вокруг основания:

• Центр \( O' \), вершина \( A \) на окружности.

Длина \( A O' \) — это радиус окружности: \[ A O' = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

Треугольник \( O A O' \), где: \[ O A = 10 \text{ (боковое ребро)}, \quad O O' = 8 \]

Используем теорему Пифагора для нахождения \( A O' \): \[ A O' = \sqrt{O A^2 - O O'^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \]

Отсюда: \[ A O' = \frac{a}{\sqrt{3}} = 6 \]

Следовательно: \[ a = 6 \sqrt{3} \]

Шаг 6. Найдите площадь основания

Площадь правильного треугольника с стороной \( a \): \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Подставим значение \( a = 6 \sqrt{3} \): \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (6\sqrt{3})^2 \]

Вычислим: \[ (6 \sqrt{3})^2 = 36 \times 3 = 108 \] Тогда: \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 108 = \frac{108 \sqrt{3}}{4} = 27 \sqrt{3} \]

Шаг 7. Найдите объем пирамиды

Объем: \[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \times h = \frac{1}{3} \times 27 \sqrt{3} \times 8 \]

Вычисляем: \[ V = 9 \sqrt{3} \times 8 = 72 \sqrt{3} \]

Ответ:

Объем пирамиды равен \( 72 \sqrt{3} \) кубических дециметров.

Округляя численно: \[ \sqrt{3} \approx 1{,}732 \] \[ V \approx 72 \times 1,732 \approx 124,7 \]

Итак:

Итог:

Объем пирамиды ≈ 124,7 дм³