Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6. На ребре CC1 отмечена точка М так, что СМ = 5. Через точки М и В1 проведена плоскость а, параллельная диагонали А1С. a) Докажите, что C1N : ND1 =…

Давайте подробно разберем задачу и решим её шаг за шагом.

---

Входные данные:

• Куб ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 6.
• На ребре CC1 отмечена точка М так, что СМ = 5.
• Через точки М и В1 проведена плоскость а, параллельная диагонали А1С.
• Требуется:
  • (а) доказать, что C1N : ND1 = 1 : 4, где N — точка пересечения этой плоскости с ребром C1D1.
  • (б) найти угол между плоскостями а и ВСС1.

---

Шаг 1. Построение и запись геометрических данных

1.1. Расположение куба

Обозначим вершины:

• Куб стоит так, что вершины ABCD в основании, а A1B1C1D1 — вершины верхней грани.
• куб ребром 6.

1.2. Координатная система

Для удобства расположим куб в 3D координатах:

• Пусть A = (0,0,0)
• B = (6,0,0)
• C = (6,6,0)
• D = (0,6,0)
• A1 = (0,0,6)
• B1 = (6,0,6)
• C1 = (6,6,6)
• D1 = (0,6,6)

1.3. Определение точки М

М — точка на ребре CC1, где:

• C = (6,6,0)
• C1 = (6,6,6)

М расположена так, что:

• CM = 5, а длина CC1 = 6.

Таким образом, М — точка на вертикальном ребре, оно делит CC1 (от (6,6,0) до (6,6,6)) на 5 и 1 части, так как:

• М. Координаты:

  \[ M = (6,6, z_M) \] где z_M — координата по z, и:

  \[ CM = |z_M - 0| = 5 \implies z_M = 5 \] следовательно:

  \[ M = (6,6,5) \]

---

Шаг 2. Построение плоскости а, параллельной диагонали А1С

2.1. Диагональ А1С

• A1 = (0,0,6)
• C = (6,6,0)

Эта диагональ — от точки A1 к точке C.

2.2. Вектор диагонали:

\[ \overrightarrow{A1C} = (6 - 0, 6 - 0, 0 - 6) = (6, 6, -6) \]

Длина этой вектора:

\[ |\overrightarrow{A1C}| = \sqrt{6^2 + 6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36 + 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \]

2.3. Плоскость а, параллельная этой диагонали:

План плоскости а — это любая плоскость, содержащая линию через точки М и В1, и параллельная диагонали.

• В1 = (6,0,6)

Точки М = (6,6,5) и В1 = (6,0,6).

Вектор В1М:

\[ \overrightarrow{V B1 M} = (6 - 6, 6 - 0, 5 - 6) = (0, 6, -1) \]

План плоскости а — это плоскость, проходящая через М и В1, и которая параллельна вектору \(\overrightarrow{A1C} = (6,6,-6)\).

---

Шаг 3. Определение уравнений плоскости а

3.1. Вектор основания плоскости

Пусть точка М = (6,6,5). Возьмем в качестве направления вектора \(\vec{v} = (0,6,-1)\) (вектор В1М).

План а содержит линию В1М и параллелен вектору \(\overrightarrow{A1C}\).

То есть, вектор, лежащий в плоскости а, будет ортогонален вектору \(\vec{n}\), который можно выбрать как вектор, перпендикулярный \(\overrightarrow{A1C}\) и \(\vec{V B1 M}\).

---

Шаг 4. Построение нормального вектора плоскости а

Для этого найдем их векторное произведение:

\[ \vec{n} = \overrightarrow{A1C} \times \overrightarrow{V B1 M} \]

где:

\[ \overrightarrow{A1C} = (6,6,-6) \] \[ \overrightarrow{V B1 M} = (0,6,-1) \]

Вычислим их векторное произведение:

\[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 6 & 6 & -6 \\ 0 & 6 & -1 \end{vmatrix} \]

Раскроем детальнее:

\[ \vec{n} = \mathbf{i} \times (6 \times -1 - (-6) \times 6) - \mathbf{j} \times (6 \times -1 - (-6) \times 0) + \mathbf{k} \times (6 \times 6 - 6 \times 0) \]

Посчитав компоненты:

• Для \(\mathbf{i}\):

\[ 6 \times (-1) - (-6) \times 6 = -6 - (-36) = -6 + 36 = 30 \]

• Для \(\mathbf{j}\):

\[ 6 \times (-1) - (-6) \times 0 = -6 - 0 = -6 \]

• Для \(\mathbf{k}\):

\[ 6 \times 6 - 6 \times 0 = 36 - 0 = 36 \]

Значит, нормальный вектор:

\[ \vec{n} = (30, -(-6), 36) = (30, 6, 36) \]

или можно упростить, разделив на 6:

\[ \vec{n} = (5, 1, 6) \]

Это — вектор, нормальый плоскости а.

---

Шаг 5. Уравнение плоскости а

Плоскость проходит через точку М = (6,6,5). Формула уравнения:

\[ 5(x - 6) + 1(y - 6) + 6(z - 5) = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ 5x - 30 + y - 6 + 6z - 30 = 0 \]

Объединим:

\[ 5x + y + 6z - (30 + 6 + 30) = 0 \] \[ 5x + y + 6z = 66 \]

Это — уравнение плоскости а.

---

Шаг 6. Поиск точки N — пересечения плоскости а с ребром C1D1

6.1. Ребро C1D1

• C1 = (6,6,6)
• D1 = (0,6,6)

Линейное уравнение ребра:

\[ C1 D1: \quad (x,y,z) = (6,6,6) + t (d_x, 0, 0) \]

где \(d_x\) — от 0 до 0, значит:

\[ x = 6 - 6 t \] \[ y = 6 \] \[ z = 6 \]

Параметр \(t\) по условию: при \(t=0\), точка — C1, при \(t=1\) — D1.

6.2. Пересечение с плоскостью а

Подставим в уравнение плоскости:

\[ 5x + y + 6z = 66 \]

подставим \(x=6 - 6t\), \(y=6\), \(z=6\):

\[ 5(6 - 6t) + 6 + 6 \times 6 = 66 \]

посчитаем:

\[ 30 - 30t + 6 + 36 = 66 \]

\[ (30 + 6 + 36) - 30t = 66 \]

\[ 72 - 30t = 66 \]

вычитаем 66 из обеих частей:

\[ 6 = 30t \]

\[ t = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \]

Найденное значение:

• координаты точки N:

\[ x_N = 6 - 6 \times \frac{1}{5} = 6 - \frac{6}{5} = \frac{30}{5} - \frac{6}{5} = \frac{24}{5} = 4.8 \] \[ y_N = 6 \] \[ z_N=6 \]

---

Шаг 7. Проверка и вычисление отношения \(C1N : ND1\)

• \(C1 = (6, 6, 6)\)
• \(N = (4.8, 6, 6)\)
• \(D1 = (0, 6, 6)\)

Расстояния:

\[ C1N = |(6,6,6) - (4.8, 6, 6)| = \text{по x:} \quad 6 - 4.8 = 1.2 \]

\[ ND1 = |(4.8,6,6) - (0,6,6)| = 4.8 - 0 = 4.8 \]

Отношение:

\[ \frac{C1N}{ND1} = \frac{1.2}{4.8} = \frac{1}{4} \]

Ответ: \(\boxed{\frac{C1N}{ND1} = 1 : 4}\).
Это — то, что нужно доказать, то есть, (а) выполнено.

---

Шаг 8. Найти угол между плоскостями а и ВСС1

8.1. Уравнение плоскости ВСС₁

Три точки:

• B = (6,0,0)
• C = (6,6,0)
• C1 = (6,6,6)

Находим векторы в плоскости ВСС₁:

\[ \overrightarrow{BC} = (0,6,0) \] \[ \overrightarrow{BC1} = (0,0,6) \]

Нормальный вектор плоскости ВСС₁:

\[ \vec{n}_2 = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BC1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{vmatrix} \]

Вычисляем:

\[ \vec{n}_2 = (6 \times 6 - 0 \times 0) \mathbf{i} - (0 \times 6 - 0 \times 0) \mathbf{j} + (0 \times 0 - 6 \times 0) \mathbf{k} \]

\[ = (36, 0, 0) \]

Тогда, \( \vec{n}_2 = (36, 0, 0) \). Можно упростить:

\[ \vec{n}_2 = (1, 0, 0) \]

(просто делим на 36).

---

8.2. Нормальный вектор плоскости а:

\[ \vec{n}_1 = (5, 1, 6) \]

8.3. Угол между плоскостями:

\[ \cos \theta = \frac{ |\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2| }{ |\vec{n}_1| |\vec{n}_2| } \]

Подставляем:

\[ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (5, 1, 6) \cdot (1, 0, 0) = 5 \times 1 + 1 \times 0 + 6 \times 0 = 5 \]

длина вектора:

\[ |\vec{n}_1| = \sqrt{5^2 + 1^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 1 + 36} = \sqrt{62} \] \[ |\vec{n}_2| = \sqrt{1^2 + 0 + 0} = 1 \]

Следовательно:

\[ \cos \theta = \frac{5}{\sqrt{62} \times 1} = \frac{5}{\sqrt{62}} \]

И так:

\[ \theta = \arccos \left( \frac{5}{\sqrt{62}} \right) \]

---

Ответы:

а) Доказано, что \( C1N : ND1 = 1 : 4 \).

б) Угол между плоскостями а и ВСС₁ равен

\[ \boxed{ \theta = \arccos \left( \frac{5}{\sqrt{62}} \right) } \]

---

Если нужны дополнительные пояснения — обращайтесь!