Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6. На ребре CC1 отмечена точка М так, что СМ = 5. Через точки М и В1 проведена плоскость а, параллельная диагонали А1С. a) Докажите, что C1N : ND1 = 1 : 4, где N - точка пересечения плоскости с ребром C1D1. б) Найдите угол между плоскостями а и ВСС1.

Давайте подробно разберем задачу и решим её шаг за шагом. --- ### Входные данные: - Куб ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 6. - На ребре CC1 отмечена точка М так, что **СМ = 5**. - Через точки М и В1 проведена плоскость а, параллельная диагонали А1С. - Требуется: - (а) доказать, что **C1N : ND1 = 1 : 4**, где **N** — точка пересечения этой плоскости с ребром C1D1. - (б) найти угол между плоскостями а и ВСС1. --- ## Шаг 1. Построение и запись геометрических данных ### 1.1. Расположение куба Обозначим вершины: - Куб стоит так, что вершины ABCD в основании, а A1B1C1D1 — вершины верхней грани. - куб ребром 6. ### 1.2. Координатная система Для удобства расположим куб в 3D координатах: - Пусть A = (0,0,0) - B = (6,0,0) - C = (6,6,0) - D = (0,6,0) - A1 = (0,0,6) - B1 = (6,0,6) - C1 = (6,6,6) - D1 = (0,6,6) ### 1.3. Определение точки М М — точка на ребре CC1, где: - C = (6,6,0) - C1 = (6,6,6) М расположена так, что: - CM = 5, а длина CC1 = 6. Таким образом, М — точка на вертикальном ребре, оно делит CC1 (от (6,6,0) до (6,6,6)) на 5 и 1 части, так как: - М. Координаты: \[ M = (6,6, z_M) \] где z_M — координата по z, и: \[ CM = |z_M - 0| = 5 \implies z_M = 5 \] следовательно: \[ M = (6,6,5) \] --- ## Шаг 2. Построение плоскости а, параллельной диагонали А1С ### 2.1. Диагональ А1С - A1 = (0,0,6) - C = (6,6,0) Эта диагональ — от точки A1 к точке C. ### 2.2. Вектор диагонали: \[ \overrightarrow{A1C} = (6 - 0, 6 - 0, 0 - 6) = (6, 6, -6) \] Длина этой вектора: \[ |\overrightarrow{A1C}| = \sqrt{6^2 + 6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36 + 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \] ### 2.3. Плоскость а, параллельная этой диагонали: План плоскости а — это любая плоскость, содержащая линию через точки М и В1, и параллельная диагонали. - В1 = (6,0,6) Точки М = (6,6,5) и В1 = (6,0,6). **Вектор В1М**: \[ \overrightarrow{V B1 M} = (6 - 6, 6 - 0, 5 - 6) = (0, 6, -1) \] План плоскости а — это плоскость, проходящая через М и В1, и которая параллельна вектору \(\overrightarrow{A1C} = (6,6,-6)\). --- ## Шаг 3. Определение уравнений плоскости а ### 3.1. Вектор основания плоскости Пусть точка М = (6,6,5). Возьмем в качестве направления вектора \(\vec{v} = (0,6,-1)\) (вектор В1М). План а содержит линию В1М и параллелен вектору \(\overrightarrow{A1C}\). То есть, вектор, лежащий в плоскости а, будет ортогонален вектору \(\vec{n}\), который можно выбрать как вектор, перпендикулярный \(\overrightarrow{A1C}\) и \(\vec{V B1 M}\). --- ## Шаг 4. Построение нормального вектора плоскости а Для этого найдем их векторное произведение: \[ \vec{n} = \overrightarrow{A1C} \times \overrightarrow{V B1 M} \] где: \[ \overrightarrow{A1C} = (6,6,-6) \] \[ \overrightarrow{V B1 M} = (0,6,-1) \] Вычислим их векторное произведение: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 6 & 6 & -6 \\ 0 & 6 & -1 \end{vmatrix} \] Раскроем детальнее: \[ \vec{n} = \mathbf{i} \times (6 \times -1 - (-6) \times 6) - \mathbf{j} \times (6 \times -1 - (-6) \times 0) + \mathbf{k} \times (6 \times 6 - 6 \times 0) \] Посчитав компоненты: - Для \(\mathbf{i}\): \[ 6 \times (-1) - (-6) \times 6 = -6 - (-36) = -6 + 36 = 30 \] - Для \(\mathbf{j}\): \[ 6 \times (-1) - (-6) \times 0 = -6 - 0 = -6 \] - Для \(\mathbf{k}\): \[ 6 \times 6 - 6 \times 0 = 36 - 0 = 36 \] Значит, нормальный вектор: \[ \vec{n} = (30, -(-6), 36) = (30, 6, 36) \] или можно упростить, разделив на 6: \[ \vec{n} = (5, 1, 6) \] Это — вектор, нормальый плоскости а. --- ## Шаг 5. Уравнение плоскости а Плоскость проходит через точку М = (6,6,5). Формула уравнения: \[ 5(x - 6) + 1(y - 6) + 6(z - 5) = 0 \] Раскроем скобки: \[ 5x - 30 + y - 6 + 6z - 30 = 0 \] Объединим: \[ 5x + y + 6z - (30 + 6 + 30) = 0 \] \[ 5x + y + 6z = 66 \] Это — уравнение плоскости а. --- ## Шаг 6. Поиск точки N — пересечения плоскости а с ребром C1D1 ### 6.1. Ребро C1D1 - C1 = (6,6,6) - D1 = (0,6,6) Линейное уравнение ребра: \[ C1 D1: \quad (x,y,z) = (6,6,6) + t (d_x, 0, 0) \] где \(d_x\) — от 0 до 0, значит: \[ x = 6 - 6 t \] \[ y = 6 \] \[ z = 6 \] Параметр \(t\) по условию: при \(t=0\), точка — C1, при \(t=1\) — D1. ### 6.2. Пересечение с плоскостью а Подставим в уравнение плоскости: \[ 5x + y + 6z = 66 \] подставим \(x=6 - 6t\), \(y=6\), \(z=6\): \[ 5(6 - 6t) + 6 + 6 \times 6 = 66 \] посчитаем: \[ 30 - 30t + 6 + 36 = 66 \] \[ (30 + 6 + 36) - 30t = 66 \] \[ 72 - 30t = 66 \] вычитаем 66 из обеих частей: \[ 6 = 30t \] \[ t = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \] Найденное значение: - координаты точки N: \[ x_N = 6 - 6 \times \frac{1}{5} = 6 - \frac{6}{5} = \frac{30}{5} - \frac{6}{5} = \frac{24}{5} = 4.8 \] \[ y_N = 6 \] \[ z_N=6 \] --- ## Шаг 7. Проверка и вычисление отношения \(C1N : ND1\) - \(C1 = (6, 6, 6)\) - \(N = (4.8, 6, 6)\) - \(D1 = (0, 6, 6)\) Расстояния: \[ C1N = |(6,6,6) - (4.8, 6, 6)| = \text{по x:} \quad 6 - 4.8 = 1.2 \] \[ ND1 = |(4.8,6,6) - (0,6,6)| = 4.8 - 0 = 4.8 \] Отношение: \[ \frac{C1N}{ND1} = \frac{1.2}{4.8} = \frac{1}{4} \] **Ответ:** \(\boxed{\frac{C1N}{ND1} = 1 : 4}\). Это — то, что нужно доказать, то есть, **(а) выполнено**. --- ## Шаг 8. Найти угол между плоскостями а и ВСС1 ### 8.1. Уравнение плоскости ВСС₁ Три точки: - B = (6,0,0) - C = (6,6,0) - C1 = (6,6,6) Находим векторы в плоскости ВСС₁: \[ \overrightarrow{BC} = (0,6,0) \] \[ \overrightarrow{BC1} = (0,0,6) \] Нормальный вектор плоскости ВСС₁: \[ \vec{n}_2 = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BC1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{vmatrix} \] Вычисляем: \[ \vec{n}_2 = (6 \times 6 - 0 \times 0) \mathbf{i} - (0 \times 6 - 0 \times 0) \mathbf{j} + (0 \times 0 - 6 \times 0) \mathbf{k} \] \[ = (36, 0, 0) \] Тогда, \( \vec{n}_2 = (36, 0, 0) \). Можно упростить: \[ \vec{n}_2 = (1, 0, 0) \] (просто делим на 36). --- ### 8.2. Нормальный вектор плоскости а: \[ \vec{n}_1 = (5, 1, 6) \] ### 8.3. Угол между плоскостями: \[ \cos \theta = \frac{ |\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2| }{ |\vec{n}_1| |\vec{n}_2| } \] Подставляем: \[ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (5, 1, 6) \cdot (1, 0, 0) = 5 \times 1 + 1 \times 0 + 6 \times 0 = 5 \] длина вектора: \[ |\vec{n}_1| = \sqrt{5^2 + 1^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 1 + 36} = \sqrt{62} \] \[ |\vec{n}_2| = \sqrt{1^2 + 0 + 0} = 1 \] Следовательно: \[ \cos \theta = \frac{5}{\sqrt{62} \times 1} = \frac{5}{\sqrt{62}} \] И так: \[ \theta = \arccos \left( \frac{5}{\sqrt{62}} \right) \] --- ## **Ответы:** **а)** Доказано, что \( C1N : ND1 = 1 : 4 \). **б)** Угол между плоскостями а и ВСС₁ равен \[ \boxed{ \theta = \arccos \left( \frac{5}{\sqrt{62}} \right) } \] --- Если нужны дополнительные пояснения — обращайтесь!