Давайте подробно разберемся с задачей по геометрии: у нас есть равносторонний треугольник и радиусы вписанной окружности, и нужно найти его периметр, если радиус равен ( 2 \sqrt{3} ).
Шаг 1: Вспомним свойства равностороннего треугольника
- Все стороны равны, обозначим сторону через ( a ).
- Радиус вписанной окружности ( r ) связан со стороной ( a ) формулой:
[
r = \frac{\sqrt{3}}{6} \times a
]
или по-другому, радиус вписанной окружности для равностороннего треугольника равен:
[
r = \frac{a \times \sqrt{3}}{6}
]
Шаг 2: Запишем данное радиус
Дано, что ( r = 2 \sqrt{3} ).
Подставим в формулу:
[
2 \sqrt{3} = \frac{a \times \sqrt{3}}{6}
]
Шаг 3: Решим уравнение относительно ( a )
Чтобы избавиться от ( \sqrt{3} ), сократим обе части уравнения:
[
\frac{a \times \sqrt{3}}{6} = 2 \sqrt{3}
]
Умножим обе части на 6:
[
a \times \sqrt{3} = 12 \sqrt{3}
]
Теперь сократим ( \sqrt{3} ):
[
a = 12
]
Шаг 4: Найти периметр
Периметр равностороннего треугольника равен:
[
P = 3a = 3 \times 12 = 36
]
Итог:
Периметр равностороннего треугольника равен (\boxed{36}).
