Давайте по шагам решим задачу о прямоугольном треугольнике ABC, у которого радиус вписанной окружности (r) равен ( 2\sqrt{2} ), гипотенуза (c) равна 13, необходимо найти его площадь.
Шаг 1: запишем известные данные
- Радиус вписанной окружности: ( r = 2\sqrt{2} )
- Гипотенуза: ( c = 13 )
Обозначим катеты: ( a ) и ( b ).
Шаг 2: вспомогательные формулы
Для прямоугольного треугольника:
[ c^2 = a^2 + b^2 ]
Площадь треугольника:
[ S = \frac{1}{2}ab ]
Радиус вписанной окружности:
[ r = \frac{a + b - c}{2} ]
или
[ a + b = c + 2r ]
Шаг 3: выразим сумму катетов
Подставим известные значения в формулу для ( a + b ):
[
a + b = c + 2r = 13 + 2 \times 2\sqrt{2} = 13 + 4\sqrt{2}
]
Обозначим сумму:
[ S_{sum} = a + b = 13 + 4\sqrt{2} ]
Шаг 4: выразим произведение катетов ( ab )
Известно, что:
[
a^2 + b^2 = c^2 = 169
]
Также, по формуле для суммы и произведения двух чисел:
[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
]
Подставим:
[
(13 + 4\sqrt{2})^2 = a^2 + 2ab + b^2
]
Обчислим левую часть:
[
(13)^2 + 2 \times 13 \times 4\sqrt{2} + (4\sqrt{2})^2 = 169 + 104 \sqrt{2} + 16 \times 2
]
[
= 169 + 104 \sqrt{2} + 32
]
Итак,
[
a^2 + b^2 + 2ab = 201 + 104 \sqrt{2}
]
Но мы знаем, что:
[
a^2 + b^2 = 169
]
Отсюда выражим ( 2ab ):
[
2ab = (a + b)^2 - (a^2 + b^2) = (201 + 104 \sqrt{2}) - 169 = 32 + 104 \sqrt{2}
]
Следовательно,
[
ab = \frac{32 + 104 \sqrt{2}}{2} = 16 + 52 \sqrt{2}
]
Шаг 5: найдём площадь треугольника
Площадь ( S ):
[
S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \times (16 + 52 \sqrt{2}) = 8 + 26 \sqrt{2}
]
Ответ:
[
\boxed{
\text{Площадь треугольника} = 8 + 26 \sqrt{2}
}
]
Если нужно, я могу дополнительно объяснить каждый шаг подробнее.
