Я вижу, что в задании есть много повторяющихся и немного запутанных фрагментов, связанные с вычислением объема тела методом вращения вокруг оси (использование формулы объема с интегралом и радиусом). Попробуем разобраться и пошагово решить пример.
Задача
Вам нужно найти объем тела, полученного вращением области между кривыми и осями, по данным уравнениям.
Из вашего текста выделим наиболее важные части:
- Уравнения функции:
( y = x + 7 )
( y = x + 79 )
( y = 9 - x^2 )
- Значения ( x ), по которым берутся границы: ( x=1 ) и ( x=-2 ).
- Формулы для объема с использованием метода дисков или washers (колец):
[
V = \pi \int_{x_1}^{x_2} \left[ R_\text{внешний}^2 - R_\text{внутренний}^2 \right] dx
]
Шаг 1. Определение области и границы интегрирования
Из уравнений и данных видно, что:
- Верхняя кривая: ( y = 9 - x^2 ) — парабола.
- Линейные функции: ( y = x + 7 ) и ( y = x + 79 ).
Парабола пересекается с линиями в определенных точках.
Давайте уточним области вращения и границы.
Шаг 2. Выбор кривых для интегрирования
Задача подразумевает вращение части области между кривыми.
По тексту, границы — это ( x = -2 ) и ( x = 1 ).
На этих пределах:
- Величина ( y ) от ( 9 - x^2 ), которая ограничивает область сверху (или снизу в зависимости от ориентации).
- Линейные функции ( y = x + 7 ) и ( y = x + 79 ).
Шаг 3. Построение области и формулы объема
Предположим, что тело вращается вокруг оси ( x ). Тогда радиусы для метода дисков (или цилиндров):
- Внутренний радиус: ( R_\text{внутр} = y_\text{нижняя функция} )
- Внешний радиус: ( R_\text{внешний} = y_\text{верхняя функция} )
Рассмотрим, что задает внешние и внутренние радиусы в каждом варианте.
Шаг 4. Формулы объема, приведенные в условии
Из текста есть пример формулы:
[
V = \pi \int_{x=-2}^{x=1} [(9 - x^2)^2 - (x + 7)^2] dx
]
Это похоже на классический случай, когда получаем объем тела вращения, и радиусы связаны с функциями.
Итоговое решение:
Объем тела при вращении вокруг оси x (использование формулы диска/колец):
[
V = \pi \int_{-2}^1 \left[(\text{внешний радиус})^2 - (\text{внутренний радиус})^2 \right] dx
]
где:
- Внешний радиус: ( R_\text{внешний} = 9 - x^2 ) (верхняя кривая),
- Внутренний радиус: ( R_\text{внутренний} = x + 7 ) (нижняя кривая).
Шаг 5. Вычисление интеграла
Подставим выражения:
[
V = \pi \int_{-2}^1 [(9 - x^2)^2 - (x + 7)^2] dx
]
Раскроем квадраты:
[
(9 - x^2)^2 = 81 - 18x^2 + x^4
]
[
(x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49
]
Теперь подставим:
[
V = \pi \int_{-2}^1 [81 - 18x^2 + x^4 - (x^2 + 14x + 49)] dx
]
Объединим подобные члены:
[
V = \pi \int_{-2}^1 [81 - 18x^2 + x^4 - x^2 - 14x - 49] dx
]
[
V = \pi \int_{-2}^1 [ (81 - 49) - (18x^2 + x^2) - 14x + x^4 ] dx
]
[
V = \pi \int_{-2}^1 [32 - 19x^2 - 14x + x^4] dx
]
Шаг 6. Вычисление интегралов по частям
Разбиваем интеграл:
[
V = \pi \left[ \int_{-2}^1 32 dx - \int_{-2}^1 19x^2 dx - \int_{-2}^1 14x dx + \int_{-2}^1 x^4 dx \right]
]
Вычисляем эти интегралы по отдельности.
Шаг 7. Решение каждого интеграла:
(\int 32 dx = 32x)
(\int 19x^2 dx = 19 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{19}{3} x^3)
(\int 14x dx = 14 \cdot \frac{x^2}{2} = 7x^2)
(\int x^4 dx = \frac{x^5}{5})
Шаг 8. Подставим пределы и посчитаем
Общий объем:
[
V = \pi \left[ 32x - \frac{19}{3} x^3 - 7x^2 + \frac{x^5}{5} \right]_{x=-2}^{x=1}
]
Посчитаем для ( x=1 ):
[
32(1) - \frac{19}{3}(1)^3 - 7(1)^2 + \frac{(1)^5}{5} = 32 - \frac{19}{3} - 7 + \frac{1}{5}
]
Общий числитель: ( 32 - 7 = 25 )
[
\Rightarrow 25 - \frac{19}{3} + \frac{1}{5}
]
Приведем к общему знаменателю 15:
[
25 = \frac{375}{15}
]
[
\frac{19}{3} = \frac{95}{15}
]
[
\frac{1}{5} = \frac{3}{15}
]
Значит:
[
\frac{375}{15} - \frac{95}{15} + \frac{3}{15} = \frac{375 - 95 + 3}{15} = \frac{283}{15}
]
Теперь для ( x = -2 ):
[
32(-2) - \frac{19}{3}(-2)^3 - 7(-2)^2 + \frac{(-2)^5}{5}
]
Рассчитаем по частям:
- ( 32 \times -2 = -64 )
- ( -2^3 = -8 ), так что ( - \frac{19}{3} \times -8 = \frac{19}{3} \times 8 = \frac{152}{3} )
- ( (-2)^2 = 4 ), так что ( -7 \times 4 = -28 )
- ( (-2)^5 = -32 ), так что ( \frac{-32}{5} = -\frac{32}{5} )
Общий результат для ( x=-2 ):
[
-64 + \frac{152}{3} - 28 - \frac{32}{5}
]
Обозначим все через общий знаменатель 15:
[
-64 = -\frac{960}{15}
]
[
\frac{152}{3} = \frac{760}{15}
]
[
-28 = -\frac{420}{15}
]
[
-\frac{32}{5} = -\frac{192}{15}
]
Сумма:
[
-\frac{960}{15} + \frac{760}{15} - \frac{420}{15} - \frac{192}{15} = \frac{-960 + 760 - 420 - 192}{15}
]
Общий числитель:
[
-960 + 760 = -200
]
[
-200 - 420 = -620
]
[
-620 - 192 = -812
]
Итак:
[
\frac{-812}{15}
]
Итоговое выражение для объема:
[
V = \pi \left( \frac{283}{15} - \left( -\frac{812}{15} \right) \right) = \pi \left( \frac{283}{15} + \frac{812}{15} \right) = \pi \frac{1095}{15}
]
Сократим:
[
\frac{1095}{15} = 73
]
Итог:
[
\boxed{
V = 73 \pi
}
]
Ответ:
Объем полученного тела равен ( \boxed{73 \pi} ).
Если нужно более подробно разобрать каждую часть или есть дополнительные условия, сообщите!
