реши пример 9 - x² da y = x + 79 - x² = x + 7 Entonces x = 1 y x = -2 V = π112 (9-x2) ² - (x + 7) 2dx V = π12 (x4-18x² + 81) - (x² + 14x + 49) dx V = pi / 12 (x4 - 19x2 - 14x +…

Я вижу, что в задании есть много повторяющихся и немного запутанных фрагментов, связанные с вычислением объема тела методом вращения вокруг оси (использование формулы объема с интегралом и радиусом). Попробуем разобраться и пошагово решить пример.

---

Задача

Вам нужно найти объем тела, полученного вращением области между кривыми и осями, по данным уравнениям.

Из вашего текста выделим наиболее важные части:

• Уравнения функции:
  \( y = x + 7 \)
  \( y = x + 79 \)
  \( y = 9 - x^2 \)
• Значения \( x \), по которым берутся границы: \( x=1 \) и \( x=-2 \).
• Формулы для объема с использованием метода дисков или washers (колец):
  \[ V = \pi \int_{x_1}^{x_2} \left[ R_\text{внешний}^2 - R_\text{внутренний}^2 \right] dx \]

---

Шаг 1. Определение области и границы интегрирования

Из уравнений и данных видно, что:

• Верхняя кривая: \( y = 9 - x^2 \) — парабола.
• Линейные функции: \( y = x + 7 \) и \( y = x + 79 \).

Парабола пересекается с линиями в определенных точках.
Давайте уточним области вращения и границы.

---

Шаг 2. Выбор кривых для интегрирования

Задача подразумевает вращение части области между кривыми.
По тексту, границы — это \( x = -2 \) и \( x = 1 \).

На этих пределах:

• Величина \( y \) от \( 9 - x^2 \), которая ограничивает область сверху (или снизу в зависимости от ориентации).
• Линейные функции \( y = x + 7 \) и \( y = x + 79 \).

---

Шаг 3. Построение области и формулы объема

Предположим, что тело вращается вокруг оси \( x \). Тогда радиусы для метода дисков (или цилиндров):

• Внутренний радиус: \( R_\text{внутр} = y_\text{нижняя функция} \)
• Внешний радиус: \( R_\text{внешний} = y_\text{верхняя функция} \)

Рассмотрим, что задает внешние и внутренние радиусы в каждом варианте.

---

Шаг 4. Формулы объема, приведенные в условии

Из текста есть пример формулы:

\[ V = \pi \int_{x=-2}^{x=1} [(9 - x^2)^2 - (x + 7)^2] dx \]

Это похоже на классический случай, когда получаем объем тела вращения, и радиусы связаны с функциями.

---

Итоговое решение:

Объем тела при вращении вокруг оси x (использование формулы диска/колец):

\[ V = \pi \int_{-2}^1 \left[(\text{внешний радиус})^2 - (\text{внутренний радиус})^2 \right] dx \]

где:

• Внешний радиус: \( R_\text{внешний} = 9 - x^2 \) (верхняя кривая),
• Внутренний радиус: \( R_\text{внутренний} = x + 7 \) (нижняя кривая).

---

Шаг 5. Вычисление интеграла

Подставим выражения:

\[ V = \pi \int_{-2}^1 [(9 - x^2)^2 - (x + 7)^2] dx \]

Раскроем квадраты:

\[ (9 - x^2)^2 = 81 - 18x^2 + x^4 \] \[ (x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49 \]

Теперь подставим:

\[ V = \pi \int_{-2}^1 [81 - 18x^2 + x^4 - (x^2 + 14x + 49)] dx \]

Объединим подобные члены:

\[ V = \pi \int_{-2}^1 [81 - 18x^2 + x^4 - x^2 - 14x - 49] dx \]

\[ V = \pi \int_{-2}^1 [ (81 - 49) - (18x^2 + x^2) - 14x + x^4 ] dx \]

\[ V = \pi \int_{-2}^1 [32 - 19x^2 - 14x + x^4] dx \]

---

Шаг 6. Вычисление интегралов по частям

Разбиваем интеграл:

\[ V = \pi \left[ \int_{-2}^1 32 dx - \int_{-2}^1 19x^2 dx - \int_{-2}^1 14x dx + \int_{-2}^1 x^4 dx \right] \]

Вычисляем эти интегралы по отдельности.

---

Шаг 7. Решение каждого интеграла:

1. \(\int 32 dx = 32x\)

2. \(\int 19x^2 dx = 19 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{19}{3} x^3\)

3. \(\int 14x dx = 14 \cdot \frac{x^2}{2} = 7x^2\)

4. \(\int x^4 dx = \frac{x^5}{5}\)

---

Шаг 8. Подставим пределы и посчитаем

Общий объем:

\[ V = \pi \left[ 32x - \frac{19}{3} x^3 - 7x^2 + \frac{x^5}{5} \right]_{x=-2}^{x=1} \]

Посчитаем для \( x=1 \):

\[ 32(1) - \frac{19}{3}(1)^3 - 7(1)^2 + \frac{(1)^5}{5} = 32 - \frac{19}{3} - 7 + \frac{1}{5} \]

Общий числитель: \( 32 - 7 = 25 \)

\[ \Rightarrow 25 - \frac{19}{3} + \frac{1}{5} \]

Приведем к общему знаменателю 15:

\[ 25 = \frac{375}{15} \] \[ \frac{19}{3} = \frac{95}{15} \] \[ \frac{1}{5} = \frac{3}{15} \]

Значит:

\[ \frac{375}{15} - \frac{95}{15} + \frac{3}{15} = \frac{375 - 95 + 3}{15} = \frac{283}{15} \]

Теперь для \( x = -2 \):

\[ 32(-2) - \frac{19}{3}(-2)^3 - 7(-2)^2 + \frac{(-2)^5}{5} \]

Рассчитаем по частям:

• \( 32 \times -2 = -64 \)
• \( -2^3 = -8 \), так что \( - \frac{19}{3} \times -8 = \frac{19}{3} \times 8 = \frac{152}{3} \)
• \( (-2)^2 = 4 \), так что \( -7 \times 4 = -28 \)
• \( (-2)^5 = -32 \), так что \( \frac{-32}{5} = -\frac{32}{5} \)

Общий результат для \( x=-2 \):

\[ -64 + \frac{152}{3} - 28 - \frac{32}{5} \]

Обозначим все через общий знаменатель 15:

\[ -64 = -\frac{960}{15} \] \[ \frac{152}{3} = \frac{760}{15} \] \[ -28 = -\frac{420}{15} \] \[ -\frac{32}{5} = -\frac{192}{15} \]

Сумма:

\[ -\frac{960}{15} + \frac{760}{15} - \frac{420}{15} - \frac{192}{15} = \frac{-960 + 760 - 420 - 192}{15} \]

Общий числитель:

\[ -960 + 760 = -200 \] \[ -200 - 420 = -620 \] \[ -620 - 192 = -812 \]

Итак:

\[ \frac{-812}{15} \]

---

Итоговое выражение для объема:

\[ V = \pi \left( \frac{283}{15} - \left( -\frac{812}{15} \right) \right) = \pi \left( \frac{283}{15} + \frac{812}{15} \right) = \pi \frac{1095}{15} \]

Сократим:

\[ \frac{1095}{15} = 73 \]

Итог:

\[ \boxed{ V = 73 \pi } \]

---

Ответ:

Объем полученного тела равен \( \boxed{73 \pi} \).

Если нужно более подробно разобрать каждую часть или есть дополнительные условия, сообщите!