У фермера два поля, на которых он может выращивать либо пшеницу, либо рожь. На первом поле он может вырастить либо 60 тонн пшеницы, либо 100 тонн ржи. На втором поле – 50 тонн…

Давайте разберемся с условием задачи шаг за шагом и найдем ответ.

Дано:

• Поле 1:

  • Вариант 1: выращивание пшеницы — 60 тонн
  • Вариант 2: выращивание ржи — 100 тонн

• Поле 2:

  • Вариант 1: выращивание пшеницы — 50 тонн
  • Вариант 2: выращивание ржи — 100 тонн

Нужно найти общую кривую возможных вариаций (КВВ) и координаты точки перелома.

---

1. Построение возможных вариантов

Обозначим переменные:

• \( x \) — количество пшеницы с поля 1 (от 0 до 60)
• \( y \) — количество пшеницы с поля 2 (от 0 до 50)

Поскольку фермер может выбрать выращивать либо пшеницу, либо рожь, то:

• Если он выращивает пшеницу, то соответственно:

  • с поля 1: \( 60 - x \) — ржаная продукция (если он не выращивает пшеницу на этом поле)
  • с поля 2: \( 50 - y \)

• Если он выращивает рожь, то:

  • с поля 1: \( 100 - (100 - x) \), то есть 100 тонн ржи (если не выращивает пшеницу на этом поле)
  • с поля 2: 100 тонн ржи (если он не выращивает пшеницу на этом поле)

---

2. Построение функции КПВ (Коэффициент производственной возможности)

Общая продукция — сумма произведений вариантов выращивания:

• Для поля 1:
  • 60 тонн пшеницы или 100 тонн ржи
• Для поля 2:
  • 50 тонн пшеницы или 100 тонн ржи

Поскольку фермер выбирает, что выращивать, и может делать это по любому сценарию, найдем пределы:

• Максимальный выпуск продукции:
  • Пшеница: \( 60 + 50 = 110 \)
  • Рожь: \( 100 + 100 = 200 \)

КПК (Кривая потенциала производства) — линия, которая показывает все возможные комбинации продукции при полном использовании ресурсов.

Пусть:

• \( P \) — объем пшеницы (от 0 до 60 + 50)
• \( R \) — объем ржи (от 0 до 100 + 100)

Наиболее вероятная линейная зависимость выражается так:

\[ P_{total} = x + y \] \[ R_{total} = (60 - x) + (50 - y) \]

– это если он выращивает все пшеницу или рожь, выбирая между ними.

---

3. Нахождение уравнения КПВ

Рассмотрим крайние точки и линию между ними:

• Максимум пшеницы: когда выращена только пшеница: \[ P_{max} = 60 + 50 = 110 \] Ржи в этом случае: \[ R = (100 + 100) - (60 + 50) = 200 - 110 = 90 \]

• Максимум ржи: когда выращена только рожь: \[ R_{max} = 100 + 100 = 200 \] Пшеницы: \[ P = (60 + 50) - (100 + 100) + \text{(или просто 0 соответственно)} \]

Общая КПВ — это линия, соединяющая эти крайние точки. Тогда:

• Точка 1 (все пшеница): \((P, R) = (110, 0)\)
• Точка 2 (все рожь): \((0, 200)\)

---

4. Общая КПВ — уравнение

Соединим эти две точки линией:

\[ R = m P + b \]

Найдем \( m \): \[ m = \frac{200 - 0}{0 - 110} = - \frac{200}{110} = - \frac{20}{11} \]

Найдем \( b \) через одну из точек, например, точку \((110, 0)\):

\[ 0 = - \frac{20}{11} \times 110 + b \] \[ 0 = - 20 \times 10 + b \] \[ b = 200 \]

Итак, уравнение КПВ:

\[ R = -\frac{20}{11} P + 200 \]

или в более удобной форме:

\[ R = - \frac{20}{11} P + 200 \]

---

5. Координаты точки перелома

Это точка, где происходит смена режима выбора — т.е. точка, в которой фермер балансирует между выращиванием пшеницы и ржи. Обычно точка перелома — это максимум либо минимум функции, или точка, где меняется наклон.

В данном случае — это середина между двумя крайними точками, так как КПВ — прямая и все вариации — это линейный переход.

Чтобы найти точку перелома, возьмем середину:

\[ P_{перелома} = \frac{110 + 0}{2} = 55 \] \[ R_{перелома} = - \frac{20}{11} \times 55 + 200 \]

Посчитаем:

\[ R_{перелома} = - \frac{20}{11} \times 55 + 200 \]

Упростим:

\[ - \frac{20}{11} \times 55 = - 20 \times 5 = -100 \]

Тогда:

\[ R_{перелома} = -100 + 200 = 100 \]

---

Ответ:

• Общая КПВ задается уравнением:

\[ R = - \frac{20}{11} P + 200 \]

• Координаты точки перелома:

\[ \boxed{ P = 55 \text{ тонн пшеницы,} \quad R = 100 \text{ тонн ржи} } \]

Эта точка показывает баланс между выращиванием пшеницы и ржи при максимально эффективном использовании ресурсов фермы.