В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9 а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. найдите площадь этой трапеции

Давайте подробно решим задачу с объяснениями. **Задача:** В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Нужно найти площадь трапеции. --- ### Шаг 1. Обозначения и свойства Обозначим: - верхнее основание \( AB = 3 \) - нижнее основание \( CD = 9 \) Трапеция равнобедренная, значит боковые стороны равны: - \( AD = BC \) Один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°, например угол \( \angle DAC = 45° \). --- ### Шаг 2. Построение и ввод дополнительных элементов Обозначим: - Высота трапеции \( h \) (она проведена из точки \( A \) перпендикулярно основанию \( CD \)) - Пусть точка \( A \) — верхний левый угол, \( B \) — верхний правый, \( C \) — нижний левый, \( D \) — нижний правый. Через равнобедренную трапецию, боковые стороны равны, и боковые углы при основании равны. --- ### Шаг 3. Раскладываем геометрию Чтобы понять положению боковых сторон, построим высоту \( h \) из \( A \) к \( CD \). Обозначим: - точка \( E \) — основание перпендикуляра из \( A \) к \( CD \) Поскольку трапеция равнобедренная, основания \( AB \) и \( CD \) центрированы, следовательно, по горизонтали: - \( AE = h \) - \( BE = h \) Также, так как \( AB \) и \( CD \) лежат параллельно, и верхнее основание меньше, то расстояния между их центрами равны: \[ \frac{9 - 3}{2} = 3 \] Пусть слева от точки \( E \) расположена точка \( M \) — середина верхнего основания, а ниже — середина нижнего. --- ### Шаг 4. Используем угол 45° Так как один из углов между боковой стороной (например, \( AD \)) и основанием \( CD \) равен 45°, в треугольнике \( A D C \) этот угол равен 45°. Обозначим: - \( \angle D A C = 45° \) Треугольник \( A D C \) — это треугольник, где \( A \) — вершина, \( D \) — основание, \( C \) — основание, и угол \( \angle D A C = 45° \). --- ### Шаг 5. Расчёты **Рассмотрим левую боковую сторону \( AD \)**. В ней есть угол \( 45° \) с основанием \( CD \). Поскольку трапеция равнобедренная, боковые стороны \( AD \) и \( BC \) равны. Обозначим: - \( \theta = 45° \) — угол между боковой стороной и основанием В треугольнике, образованном боковой стороной, высотой и частью основания, этот угол является одним из острых. --- ### Шаг 6. Применение тригонометрии Рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной \( AD \), высотой \( h \) и горизонтальной частью. Обозначим: - горизонтальное смещение \( x \) — это разница между центрами оснований. Из условий: \[ x = \frac{9 - 3}{2} = 3 \] В треугольнике, где один из углов \(\angle = 45°\), гипотенуза — боковая сторона \( AD \), а прилежащий катет — это высота \( h \), а противолежащий — горизонтальное смещение \( x \). По тригонометрии: \[ \cos 45° = \frac{h}{AD} \] или \[ h = AD \cdot \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot AD \] Также, из равенства боковых сторон \(\, AD = BC \), и мы можем найти их длину. --- ### Шаг 7. Связь между \( AD \) и известными длинами Рассмотрим свойства боковых сторон: Из треугольника с углом 45° и горизонтальным смещением 3, известно, что протяженность боковой стороны связана с высотой: \[ AD = \sqrt{h^2 + x^2} \] где \( x = 3 \), \( h = AD \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \). Подставим \( h \): \[ AD = \sqrt{\left(AD \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 3^2} \] \[ AD = \sqrt{AD^2 \cdot \frac{1}{2} + 9} \] Домножим обе части на 2, чтобы избавиться от деления: \[ 2 \cdot AD^2 = AD^2 + 18 \] \[ 2AD^2 - AD^2 = 18 \] \[ AD^2 = 18 \] Следовательно: \[ AD = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] --- ### Шаг 8. Находим высоту \( h \) Теперь: \[ h = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot AD = \frac{\sqrt{2}}{2} \times 3\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2} \times 3\sqrt{2}}{2} \] \[ h = \frac{3 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \times 2}{2} = 3 \] Итак, высота трапеции равна: \[ h = 3 \] --- ### Шаг 9. Вычисляем площадь трапеции Площадь: \[ S = \frac{a + b}{2} \times h = \frac{3 + 9}{2} \times 3 = \frac{12}{2} \times 3 = 6 \times 3 = 18 \] --- ## **Ответ:** **Площадь трапеции равна \(\boxed{18}\).**