В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9 а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. найдите площадь этой трапеции
Давайте подробно решим задачу с объяснениями.
Задача: В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Нужно найти площадь трапеции.
Шаг 1. Обозначения и свойства
Обозначим:
- верхнее основание \( AB = 3 \)
- нижнее основание \( CD = 9 \)
Трапеция равнобедренная, значит боковые стороны равны:
- \( AD = BC \)
Один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°, например угол \( \angle DAC = 45° \).
Шаг 2. Построение и ввод дополнительных элементов
Обозначим:
- Высота трапеции \( h \) (она проведена из точки \( A \) перпендикулярно основанию \( CD \))
- Пусть точка \( A \) — верхний левый угол, \( B \) — верхний правый, \( C \) — нижний левый, \( D \) — нижний правый.
Через равнобедренную трапецию, боковые стороны равны, и боковые углы при основании равны.
Шаг 3. Раскладываем геометрию
Чтобы понять положению боковых сторон, построим высоту \( h \) из \( A \) к \( CD \). Обозначим:
- точка \( E \) — основание перпендикуляра из \( A \) к \( CD \)
Поскольку трапеция равнобедренная, основания \( AB \) и \( CD \) центрированы, следовательно, по горизонтали:
- \( AE = h \)
- \( BE = h \)
Также, так как \( AB \) и \( CD \) лежат параллельно, и верхнее основание меньше, то расстояния между их центрами равны:
\[ \frac{9 - 3}{2} = 3 \]
Пусть слева от точки \( E \) расположена точка \( M \) — середина верхнего основания, а ниже — середина нижнего.
Шаг 4. Используем угол 45°
Так как один из углов между боковой стороной (например, \( AD \)) и основанием \( CD \) равен 45°, в треугольнике \( A D C \) этот угол равен 45°.
Обозначим:
- \( \angle D A C = 45° \)
Треугольник \( A D C \) — это треугольник, где \( A \) — вершина, \( D \) — основание, \( C \) — основание, и угол \( \angle D A C = 45° \).
Шаг 5. Расчёты
Рассмотрим левую боковую сторону \( AD \). В ней есть угол \( 45° \) с основанием \( CD \). Поскольку трапеция равнобедренная, боковые стороны \( AD \) и \( BC \) равны.
Обозначим:
- \( \theta = 45° \) — угол между боковой стороной и основанием
В треугольнике, образованном боковой стороной, высотой и частью основания, этот угол является одним из острых.
Шаг 6. Применение тригонометрии
Рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной \( AD \), высотой \( h \) и горизонтальной частью.
Обозначим:
- горизонтальное смещение \( x \) — это разница между центрами оснований.
Из условий:
\[ x = \frac{9 - 3}{2} = 3 \]
В треугольнике, где один из углов \(\angle = 45°\), гипотенуза — боковая сторона \( AD \), а прилежащий катет — это высота \( h \), а противолежащий — горизонтальное смещение \( x \).
По тригонометрии:
\[ \cos 45° = \frac{h}{AD} \]
или
\[ h = AD \cdot \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot AD \]
Также, из равенства боковых сторон \(\, AD = BC \), и мы можем найти их длину.
Шаг 7. Связь между \( AD \) и известными длинами
Рассмотрим свойства боковых сторон:
Из треугольника с углом 45° и горизонтальным смещением 3, известно, что протяженность боковой стороны связана с высотой:
\[ AD = \sqrt{h^2 + x^2} \]
где \( x = 3 \), \( h = AD \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Подставим \( h \):
\[ AD = \sqrt{\left(AD \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 3^2} \]
\[ AD = \sqrt{AD^2 \cdot \frac{1}{2} + 9} \]
Домножим обе части на 2, чтобы избавиться от деления:
\[ 2 \cdot AD^2 = AD^2 + 18 \]
\[ 2AD^2 - AD^2 = 18 \]
\[ AD^2 = 18 \]
Следовательно:
\[ AD = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]
Шаг 8. Находим высоту \( h \)
Теперь:
\[ h = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot AD = \frac{\sqrt{2}}{2} \times 3\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2} \times 3\sqrt{2}}{2} \]
\[ h = \frac{3 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \times 2}{2} = 3 \]
Итак, высота трапеции равна:
\[ h = 3 \]
Шаг 9. Вычисляем площадь трапеции
Площадь:
\[ S = \frac{a + b}{2} \times h = \frac{3 + 9}{2} \times 3 = \frac{12}{2} \times 3 = 6 \times 3 = 18 \]
Ответ:
Площадь трапеции равна \(\boxed{18}\).
