Логарифм снование 10 аргумент x в квадрате+2x-8-логарифм основание 10 аргумент x+4 меньше или равно логарифм основание 10 аргумент 3

Давайтерешим задачу пошагово. Задача записана так: \[ \log_{10}(x^2 + 2x - 8) - \log_{10}(x + 4) \leq \log_{10}(3) \] **Шаг 1: Используем свойства логарифмов** Вычитание логарифмов с одинаковым основанием можно переписать как деление аргументов: \[ \log_{10} \left( \frac{x^2 + 2x - 8}{x + 4} \right) \leq \log_{10}(3) \] **Шаг 2: Перепишем неравенство** Поскольку логарифмы с одинаковым основанием (10) возрастают на всей области определения, неравенство \[ \log_{10} \left( \frac{x^2 + 2x - 8}{x + 4} \right) \leq \log_{10}(3) \] равносильно неравенству внутри логарифмов: \[ \frac{x^2 + 2x - 8}{x + 4} \leq 3 \] при условии, что аргументы логарифмов определены and положительны. **Шаг 3: Найди область определения** Логарифмы существуют только при положительных аргументах: 1. \(x^2 + 2x - 8 > 0\) 2. \(x + 4 > 0 \implies x > -4\) Рассмотрим каждое неравенство. --- **Неравенство 1: \(x^2 + 2x - 8 > 0\)** Найдем корни квадратичного выражения \(x^2 + 2x - 8 = 0\). Решим через дискриминант: \[ D = (2)^2 - 4 \times 1 \times (-8) = 4 + 32 = 36 \] Корни: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} \] \[ x = \frac{-2 + 6}{2} = 2,\quad x = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \] Поскольку квадратичная функция со \(a=1 > 0\), то неравенство \(x^2 + 2x -8 > 0\) выполняется при: \[ x < -4 \quad \text{или} \quad x > 2 \] --- **Неравенство 2: \(x + 4 > 0 \implies x > -4\)** Область определения: \[ x > -4 \] Объединяя оба условия, учитывая, что \(x^2 + 2x -8 > 0\) и \(x > -4\): - для \(x < -4\) не подходит, так как аргумент отрицателен и логарифм не определен; - для \(x > 2\) аргументы определены. Итого, область определения: \(x > 2\). --- **Шаг 4: Решение неравенства** Теперь рассматриваем: \[ \frac{x^2 + 2x - 8}{x + 4} \leq 3 \] Область: \(x > 2\). Переносим 3 в левую сторону: \[ \frac{x^2 + 2x - 8}{x + 4} - 3 \leq 0 \] Объединим в одну дробь: \[ \frac{x^2 + 2x - 8 - 3(x + 4)}{x + 4} \leq 0 \] Раскроем скобки в числителе: \[ x^2 + 2x - 8 - 3x - 12 = x^2 - x - 20 \] В итоге: \[ \frac{x^2 - x - 20}{x + 4} \leq 0 \] Решим неравенство: \[ \frac{x^2 - x - 20}{x + 4} \leq 0 \] --- **Шаг 5: Найти нули числителя и знаменателя** Знаменатель \(x + 4 = 0 \implies x = -4\) Начинаем с нулей числителя: \[ x^2 - x - 20 = 0 \] Решаем квадратное уравнение: Дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-20) = 1 + 80 = 81 \] Корни: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{1 \pm 9}{2} \] \[ x = \frac{1 + 9}{2} = 5,\quad x = \frac{1 - 9}{2} = -4 \] Обратите внимание, что один ноль совпадает с точкой разрыва — \(x = -4\). **Итак, нули:** - числитель: \(x = -4\) и \(x = 5\) - знаменатель: \(x = -4\) (точка разрыва) --- **Шаг 6: Разбиваем числовую ось на интервы:** На основе нулей и точки разрыва: - \(-\infty, -4\) - \(-4, 5\) - \(5, +\infty\) Проверим знак дроби на каждом интервале, принимая в качестве тестовых точек: 1. \(x < -4\), например, \(x = -5\) 2. между \(-4\) и 5, например, \(x = 0\) 3. \(x > 5\), например, \(x = 6\) --- **Шаг 7: Анализ знака** - при \(x = -5\): \[ x^2 - x - 20 = 25 + 5 - 20 = 10 > 0 \] \[ x + 4 = -1 < 0 \] Знак дроби: деление положительного на отрицательное — отрицательное. Значит, знак \(\leq 0\) выполняется. - при \(x = 0\): \[ 0 - 0 - 20 = -20 < 0 \] \[ x + 4 = 4 > 0 \] Дробь: отрицательное на положительное — отрицательное. Значит, дробь \(\leq 0\). - при \(x = 6\): \[ 36 - 6 - 20 = 10 > 0 \] \[ x + 4 = 10 > 0 \] Деление положительное на положительное — положительное. Значит, не подходит. --- **Шаг 8: Итоговое условие** Дробь \(\leq 0\) на интервалах: - \(x < -4\), но в области определения нашего первоначального неравенства: \(x > 2\). Следовательно, \(x < -4\) не входит. - \(-4 < x < 5\) - \(x = 5\): числитель равен нулю, а делитель не равен нулю, так как \(x=-4\) — особая точка. Но \(x=5\) входит, так как деление ноль на ненулевое число дает 0 \(\leq 0\). - \(x > 5\) — дробь положительна, не подходит. Обратим внимание: мы ранее установили, что область определения — только \(x > 2\). Значит, рассматриваем интервал: \[ (2, 5] \] Тогда итог — все \(x\) в интервале от 2 до 5, включая 5. **Проверка точек:** - На границе \(x=2\): \[ x^2 - x - 20 = 4 - 2 - 20 = -18 < 0 \] \[ x + 4 = 6 > 0 \] Дробь: отрицательное/положительное — отрицательное, подходит. Проверим самое устройство: при \(x=2\): \[ \frac{-18}{6} = -3 \leq 0 \quad \text{да} \] - точка \(x=5\): числитель = 0, выражение: \[ \frac{0}{5 + 4} = 0 \leq 0 \] подходит. --- **Ответ:** Область решения — \(x \in [2, 5]\). --- **Итоговая проверка:** - условие определения логарифмов: \(x > 2\) - неравенство выполнено на этом интервале. - при \(x=2\), условие выполнено. - при \(x=5\), условие выполнено. --- ## Итог: **Ответ:** \[ \boxed{ x \in [2, 5] } \] Это — все значения \(x\), удовлетворяющие исходному неравенству.