логарифм снование 10 аргумент x в квадрате+2x-8-логарифм основание 10 аргумент x+4 меньше или равно логарифм основание 10 аргумент 3
Давайтерешим задачу пошагово.
Задача записана так:
\[ \log_{10}(x^2 + 2x - 8) - \log_{10}(x + 4) \leq \log_{10}(3) \]
Шаг 1: Используем свойства логарифмов
Вычитание логарифмов с одинаковым основанием можно переписать как деление аргументов:
\[ \log_{10} \left( \frac{x^2 + 2x - 8}{x + 4} \right) \leq \log_{10}(3) \]
Шаг 2: Перепишем неравенство
Поскольку логарифмы с одинаковым основанием (10) возрастают на всей области определения, неравенство
\[ \log_{10} \left( \frac{x^2 + 2x - 8}{x + 4} \right) \leq \log_{10}(3) \]
равносильно неравенству внутри логарифмов:
\[ \frac{x^2 + 2x - 8}{x + 4} \leq 3 \]
при условии, что аргументы логарифмов определены and положительны.
Шаг 3: Найди область определения
Логарифмы существуют только при положительных аргументах:
- \(x^2 + 2x - 8 > 0\)
- \(x + 4 > 0 \implies x > -4\)
Рассмотрим каждое неравенство.
Неравенство 1: \(x^2 + 2x - 8 > 0\)
Найдем корни квадратичного выражения \(x^2 + 2x - 8 = 0\).
Решим через дискриминант:
\[ D = (2)^2 - 4 \times 1 \times (-8) = 4 + 32 = 36 \]
Корни:
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} \]
\[ x = \frac{-2 + 6}{2} = 2,\quad x = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \]
Поскольку квадратичная функция со \(a=1 > 0\), то неравенство \(x^2 + 2x -8 > 0\) выполняется при:
\[ x < -4 \quad \text{или} \quad x > 2 \]
Неравенство 2: \(x + 4 > 0 \implies x > -4\)
Область определения:
\[ x > -4 \]
Объединяя оба условия, учитывая, что \(x^2 + 2x -8 > 0\) и \(x > -4\):
- для \(x < -4\) не подходит, так как аргумент отрицателен и логарифм не определен;
- для \(x > 2\) аргументы определены.
Итого, область определения: \(x > 2\).
Шаг 4: Решение неравенства
Теперь рассматриваем:
\[ \frac{x^2 + 2x - 8}{x + 4} \leq 3 \]
Область: \(x > 2\).
Переносим 3 в левую сторону:
\[ \frac{x^2 + 2x - 8}{x + 4} - 3 \leq 0 \]
Объединим в одну дробь:
\[ \frac{x^2 + 2x - 8 - 3(x + 4)}{x + 4} \leq 0 \]
Раскроем скобки в числителе:
\[ x^2 + 2x - 8 - 3x - 12 = x^2 - x - 20 \]
В итоге:
\[ \frac{x^2 - x - 20}{x + 4} \leq 0 \]
Решим неравенство:
\[ \frac{x^2 - x - 20}{x + 4} \leq 0 \]
Шаг 5: Найти нули числителя и знаменателя
Знаменатель \(x + 4 = 0 \implies x = -4\)
Начинаем с нулей числителя:
\[ x^2 - x - 20 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение:
Дискриминант:
\[ D = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-20) = 1 + 80 = 81 \]
Корни:
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{1 \pm 9}{2} \]
\[ x = \frac{1 + 9}{2} = 5,\quad x = \frac{1 - 9}{2} = -4 \]
Обратите внимание, что один ноль совпадает с точкой разрыва — \(x = -4\).
Итак, нули:
- числитель: \(x = -4\) и \(x = 5\)
- знаменатель: \(x = -4\) (точка разрыва)
Шаг 6: Разбиваем числовую ось на интервы:
На основе нулей и точки разрыва:
- \(-\infty, -4\)
- \(-4, 5\)
- \(5, +\infty\)
Проверим знак дроби на каждом интервале, принимая в качестве тестовых точек:
- \(x < -4\), например, \(x = -5\)
- между \(-4\) и 5, например, \(x = 0\)
- \(x > 5\), например, \(x = 6\)
Шаг 7: Анализ знака
- при \(x = -5\):
\[ x^2 - x - 20 = 25 + 5 - 20 = 10 > 0 \]
\[ x + 4 = -1 < 0 \]
Знак дроби: деление положительного на отрицательное — отрицательное. Значит, знак \(\leq 0\) выполняется.
- при \(x = 0\):
\[ 0 - 0 - 20 = -20 < 0 \]
\[ x + 4 = 4 > 0 \]
Дробь: отрицательное на положительное — отрицательное. Значит, дробь \(\leq 0\).
- при \(x = 6\):
\[ 36 - 6 - 20 = 10 > 0 \]
\[ x + 4 = 10 > 0 \]
Деление положительное на положительное — положительное. Значит, не подходит.
Шаг 8: Итоговое условие
Дробь \(\leq 0\) на интервалах:
\(x < -4\), но в области определения нашего первоначального неравенства: \(x > 2\). Следовательно, \(x < -4\) не входит.
\(-4 < x < 5\)
\(x = 5\): числитель равен нулю, а делитель не равен нулю, так как \(x=-4\) — особая точка. Но \(x=5\) входит, так как деление ноль на ненулевое число дает 0 \(\leq 0\).
\(x > 5\) — дробь положительна, не подходит.
Обратим внимание: мы ранее установили, что область определения — только \(x > 2\). Значит, рассматриваем интервал:
\[ (2, 5] \]
Тогда итог — все \(x\) в интервале от 2 до 5, включая 5.
Проверка точек:
- На границе \(x=2\):
\[ x^2 - x - 20 = 4 - 2 - 20 = -18 < 0 \]
\[ x + 4 = 6 > 0 \]
Дробь: отрицательное/положительное — отрицательное, подходит.
Проверим самое устройство: при \(x=2\):
\[ \frac{-18}{6} = -3 \leq 0 \quad \text{да} \]
- точка \(x=5\):
числитель = 0, выражение:
\[ \frac{0}{5 + 4} = 0 \leq 0 \]
подходит.
Ответ:
Область решения — \(x \in [2, 5]\).
Итоговая проверка:
- условие определения логарифмов: \(x > 2\)
- неравенство выполнено на этом интервале.
- при \(x=2\), условие выполнено.
- при \(x=5\), условие выполнено.
Итог:
Ответ:
\[ \boxed{ x \in [2, 5] } \]
Это — все значения \(x\), удовлетворяющие исходному неравенству.
