Давайте найдём площадь параллелограмма, построенного на двух векторах a и b.
Шаг 1: Запишем векторы:
[
a = (16, -4, -4) \
b = (0, 1, -1)
]
Шаг 2: Определим векторное произведение (крестовое произведение) векторов a и b.
Площадь параллелограмма равна модулю этого векторного произведения:
[
\text{Площадь} = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|
]
Шаг 3: Найдём векторное произведение (\mathbf{a} \times \mathbf{b}).
Формула для векторного произведения двух векторов ((a_1, a_2, a_3)) и ((b_1, b_2, b_3)):
[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2, ; a_3 b_1 - a_1 b_3, ; a_1 b_2 - a_2 b_1)
]
Подставляем значения:
[
a = (16, -4, -4) \
b = (0, 1, -1)
]
Вычисляем компоненты по порядку:
Первый компонент:
[
a_2 b_3 - a_3 b_2 = (-4) \times (-1) - (-4) \times 1 = 4 - (-4) = 4 + 4 = 8
]
Второй компонент:
[
a_3 b_1 - a_1 b_3 = (-4) \times 0 - 16 \times (-1) = 0 + 16 = 16
]
Третий компонент:
[
a_1 b_2 - a_2 b_1 = 16 \times 1 - (-4) \times 0 = 16 - 0 = 16
]
Итак,
[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (8, 16, 16)
]
Шаг 4: Найдём модуль векторного произведения:
[
|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{8^2 + 16^2 + 16^2} = \sqrt{64 + 256 + 256} = \sqrt{576} = 24
]
Ответ:
Площадь параллелограмма равна 24 (квадратичных единиц измерения площади).
