Давайте решим задачу по порядку, подробно объясняя каждый шаг.
Задача:
Нам нужно найти уравнение плоскости, проходящей через точку ( M_0(-1; -10; 2) ), и параллельной векторам ( e_1 = {-10, 4, 1} ) и ( e_2 = {1, -1, 0} ).
Шаг 1. Понять, что нам нужно
Уравнение плоскости задаётся в виде:
[ A x + B y + C z + D = 0 ]
Нам даны точка и два вектора, параллельных плоскости.
Чтобы найти уравнение, нужно определить нормаль вектор к плоскости (\vec{n}).
Нормаль — это вектор, перпендикулярный к плоскости, и она должна быть перпендикулярна обеим данным векторам, потому что векторы лежат в плоскости.
Шаг 2. Найти нормальный вектор (\vec{n})
Поскольку (\vec{n}) перпендикулярен ВЕКТОРАМ ( e_1 ) и ( e_2 ),
нормаль можно найти как векторное произведение этих двух векторов:
[
\vec{n} = e_1 \times e_2
]
Вычислим векторное произведение:
[
e_1 = (-10, 4, 1), \quad e_2 = (1, -1, 0)
]
[
\vec{n} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-10 & 4 & 1 \
1 & -1 & 0 \
\end{vmatrix}
= \mathbf{i} \cdots - \mathbf{j} \cdots + \mathbf{k} \cdots
]
Рассчитаем компоненты:
Компонента (\mathbf{i}):
[
(4 \times 0) - (1 \times -1) = 0 - (-1) = 1
]
Компонента (\mathbf{j}):
[
\left( (-10) \times 0 - 1 \times 1 \right) = - (0 - 1) = -(-1) = 1
]
Компонента (\mathbf{k}):
[
(-10) \times (-1) - 4 \times 1 = 10 - 4 = 6
]
Итак,
[
\vec{n} = (1, 1, 6)
]
Шаг 3. Подставить точку и нормаль в уравнение плоскости
Общий вид уравнения плоскости:
[
A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0
]
или просто:
[
A x + B y + C z + D = 0
]
где
[
D = - (A x_0 + B y_0 + C z_0)
]
Подставим ( A=1, B=1, C=6 ) и точку ( M_0(-1, -10, 2) ):
[
D = - [1 \times (-1) + 1 \times (-10) + 6 \times 2] = - [-1 -10 + 12] = - [1]
]
[
D = -1
]
Ответ:
Уравнение плоскости в виде ( Ax + y + Cz + D = 0 ):
[
\boxed{
A=1, \quad C=6, \quad D=-1
}
]
Через запятую: 1;6;-1
Если нужно, я могу помочь с более детальным объяснением или проверкой.
