Давай вместе разберемся с этой системой уравнений. Нужно найти такое значение параметра ( a ), при котором система будет иметь бесконечно много решений.
Система уравнений:
[
\begin{cases}
3ax - 2y = a - 2, \
3x + y = -a
\end{cases}
]
Чтобы система имела бесконечно много решений, коэффициенты при переменных ( x ) и ( y ) в обоих уравнениях должны быть пропорциональны друг другу.
Из второго уравнения выразим ( y ):
( y = -3x - a )
Подставим ( y ) из второго уравнения в первое:
( 3ax - 2(-3x - a) = a - 2 )
Упростим это уравнение:
( 3ax + 6x + 2a = a - 2 )
Теперь приведем подобные слагаемые:
( 3ax + 6x + a = -2 )
( 3ax + 6x = -a - 2 )
Для того чтобы система была неопределенной (то есть имела бесконечное множество решений), правая часть уравнения ( 3ax + 6x ) должна быть равна нулю при любом ( x ), потому что у нас есть выражение ( -a - 2 ), которое не зависит от ( x ).
Таким образом, коэффициенты при ( x ) в левой части равенства тоже должны быть равны нулю:
[
\begin{cases}
3a = 0, \
6 = 0
\end{cases}
]
Первое уравнение дает нам ( a = 0 ), а второе уравнение никогда не выполняется (так как 6 не равно 0). Это означает, что нам нужно найти такое ( a ), при котором соотношение коэффициентов было бы сохранено.
Заметим, что во втором уравнении мы имеем соотношение коэффициентов при ( x ) и ( y ) как 3 к 1. Чтобы в первом уравнении соотношение коэффициентов при ( x ) и ( y ) было таким же, нужно, чтобы выполнилось условие:
[
\frac{3a}{-2} = \frac{3}{1}
]
Отсюда получаем:
( a = -\frac{2}{3} \times 3 = -2 )
Таким образом, при ( a = -2 ) система уравнений имеет бесконечно много решений.
