Найди точку максимума функции y=x^3-12x^2+36x+30

Давайте найдём точку максимума функции \( y = x^3 - 12x^2 + 36x + 30 \). Шаг 1. Найдём первую производную функции \( y \). \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 12x^2 + 36x + 30) \] Применяем стандартные правила дифференцирования: \[ y' = 3x^2 - 24x + 36 \] Шаг 2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: \[ 3x^2 - 24x + 36 = 0 \] Упростим это уравнение, разделив всю его часть на 3: \[ x^2 - 8x + 12 = 0 \] Шаг 3. Решим квадратное уравнение: \[ x^2 - 8x + 12 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 12 = 64 - 48 = 16 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2} \] Получаем два критических значения: \[ x_1 = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] \[ x_2 = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] Шаг 4. Определим характер этих точек (максимум или минимум), используя вторую производную: \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 24x + 36) = 6x - 24 \] Подставим критические точки: - Для \( x=6 \): \[ y''(6) = 6 \times 6 - 24 = 36 - 24 = 12 > 0 \] Это означает, что в точке \( x=6 \) функция имеет локальный минимум. - Для \( x=2 \): \[ y''(2) = 6 \times 2 - 24 = 12 - 24 = -12 < 0 \] Это означает, что в точке \( x=2 \) функция имеет локальный максимум. **Ответ:** Точка максимума функции находится при \( x=2 \). Теперь найдём её координаты по \( y \): \[ y(2) = (2)^3 - 12 \times (2)^2 + 36 \times 2 + 30 \] \[ = 8 - 12 \times 4 + 72 + 30 \] \[ = 8 - 48 + 72 + 30 \] \[ = (8 - 48) + (72 + 30) = -40 + 102 = 62 \] **Значит, точка максимума:** \(\boxed{(2, 62)}\).