найди точку максимума функции y=x^3-12x^2+36x+30

Давайте найдём точку максимума функции \( y = x^3 - 12x^2 + 36x + 30 \).

Шаг 1. Найдём первую производную функции \( y \).

\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 12x^2 + 36x + 30) \]

Применяем стандартные правила дифференцирования:

\[ y' = 3x^2 - 24x + 36 \]

Шаг 2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

\[ 3x^2 - 24x + 36 = 0 \]

Упростим это уравнение, разделив всю его часть на 3:

\[ x^2 - 8x + 12 = 0 \]

Шаг 3. Решим квадратное уравнение:

\[ x^2 - 8x + 12 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 12 = 64 - 48 = 16 \]

Корни:

\[ x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2} \]

Получаем два критических значения:

\[ x_1 = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] \[ x_2 = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Шаг 4. Определим характер этих точек (максимум или минимум), используя вторую производную:

\[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 24x + 36) = 6x - 24 \]

Подставим критические точки:

• Для \( x=6 \):

\[ y''(6) = 6 \times 6 - 24 = 36 - 24 = 12 > 0 \]

Это означает, что в точке \( x=6 \) функция имеет локальный минимум.

• Для \( x=2 \):

\[ y''(2) = 6 \times 2 - 24 = 12 - 24 = -12 < 0 \]

Это означает, что в точке \( x=2 \) функция имеет локальный максимум.

Ответ:
Точка максимума функции находится при \( x=2 \).

Теперь найдём её координаты по \( y \):

\[ y(2) = (2)^3 - 12 \times (2)^2 + 36 \times 2 + 30 \] \[ = 8 - 12 \times 4 + 72 + 30 \] \[ = 8 - 48 + 72 + 30 \] \[ = (8 - 48) + (72 + 30) = -40 + 102 = 62 \]

Значит, точка максимума: \(\boxed{(2, 62)}\).