Найдите lim x стремится к -20 x^2+x-380/arcsin(x+20)

Давайте решим задачу: \[ \lim_{x \to -20} \frac{x^2 + x - 380}{\arcsin(x + 20)} \] ### Шаг 1: Анализ поведения выражения при \(x \to -20\) Подставим непосредственно \(x = -20\): - числитель: \((-20)^2 + (-20) - 380 = 400 - 20 - 380 = 0\) - знаменатель: \(\arcsin(-20 + 20) = \arcsin(0) = 0\) Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Значит, нужно применить методы для устранения неопределенности: Лопиталя. --- ### Шаг 2: Применение правила Лопиталя Правило Лопиталя гласит, что если \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}\) или \(\frac{\infty}{\infty}\), то: \[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \] после проверки существования этого предела. Здесь: - \(f(x) = x^2 + x - 380\) - \(g(x) = \arcsin(x + 20)\) Найдем производные: \[ f'(x) = 2x + 1 \] \[ g'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (x + 20)^2}} \] --- ### Шаг 3: Подставление пределов для \x \to -20 Теперь получим: \[ \lim_{x \to -20} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to -20} \frac{2x + 1}{\frac{1}{\sqrt{1 - (x + 20)^2}}} \] Обозначим \(x + 20\) как новую переменную \(t\). Тогда при \(x \to -20\), \(t \to 0\). Перепишем: \[ x = t - 20 \] Тогда: \[ f'(x) = 2(t - 20) + 1 = 2t - 40 + 1 = 2t - 39 \] И знаменатель: \[ g'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \] Предел при \(t \to 0\): \[ \lim_{t \to 0} \frac{2t - 39}{\frac{1}{\sqrt{1 - t^2}}} = \lim_{t \to 0} (2t - 39) \cdot \sqrt{1 - t^2} \] ### Шаг 4: Вычисление окончательного предела При \(t \to 0\): \[ (2t - 39) \to -39 \] \[ \sqrt{1 - t^2} \to 1 \] Следовательно, \[ \lim_{t \to 0} (2t - 39) \cdot \sqrt{1 - t^2} = -39 \times 1 = -39 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{-39} \] Это значение предела.