найдите lim x стремится к -20 x^2+x-380/arcsin(x+20)
Давайте решим задачу:
\[
\lim_{x \to -20} \frac{x^2 + x - 380}{\arcsin(x + 20)}
\]
Шаг 1: Анализ поведения выражения при \(x \to -20\)
Подставим непосредственно \(x = -20\):
- числитель: \((-20)^2 + (-20) - 380 = 400 - 20 - 380 = 0\)
- знаменатель: \(\arcsin(-20 + 20) = \arcsin(0) = 0\)
Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Значит, нужно применить методы для устранения неопределенности: Лопиталя.
Шаг 2: Применение правила Лопиталя
Правило Лопиталя гласит, что если \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}\) или \(\frac{\infty}{\infty}\), то:
\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]
после проверки существования этого предела.
Здесь:
- \(f(x) = x^2 + x - 380\)
- \(g(x) = \arcsin(x + 20)\)
Найдем производные:
\[ f'(x) = 2x + 1 \] \[ g'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (x + 20)^2}} \]
Шаг 3: Подставление пределов для \x \to -20
Теперь получим:
\[ \lim_{x \to -20} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to -20} \frac{2x + 1}{\frac{1}{\sqrt{1 - (x + 20)^2}}} \]
Обозначим \(x + 20\) как новую переменную \(t\). Тогда при \(x \to -20\), \(t \to 0\).
Перепишем:
\[ x = t - 20 \]
Тогда:
\[ f'(x) = 2(t - 20) + 1 = 2t - 40 + 1 = 2t - 39 \]
И знаменатель:
\[ g'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \]
Предел при \(t \to 0\):
\[ \lim_{t \to 0} \frac{2t - 39}{\frac{1}{\sqrt{1 - t^2}}} = \lim_{t \to 0} (2t - 39) \cdot \sqrt{1 - t^2} \]
Шаг 4: Вычисление окончательного предела
При \(t \to 0\):
\[ (2t - 39) \to -39 \] \[ \sqrt{1 - t^2} \to 1 \]
Следовательно,
\[ \lim_{t \to 0} (2t - 39) \cdot \sqrt{1 - t^2} = -39 \times 1 = -39 \]
Ответ:
\[ \boxed{-39} \]
Это значение предела.
