Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Давайте подробно разберём задачу по шагам. **Дано:** - Основания трапеции: \( AB = 8 \), \( CD = 6 \) (предположим, что \( AB \) — верхнее основание, а \( CD \) — нижнее). - Радиус описанной окружности: \( R = 5 \). **Задача:** найти высоту трапеции \( h \). --- ### Шаг 1: Вспомним свойства трапеции и описанной окружности - Вписанная окружность касается всех четырёх сторон. - Вписанная окружность существует, если сумма боковых сторон равна сумме оснований: \[ AD + BC = AB + CD \] Но в задаче речь идёт о **описанной** окружности, а не о вписанной. У трапеции, у которой есть описанная окружность, выполняется условие: сумма диагоналей равна сумме оснований. Однако более важно свойство: **если у трапеции есть описанная окружность, то сумма боковых сторон равна сумме оснований**. Для описанной окружности в трапеции есть ещё важное свойство: трапеция является равнобедренной, у неё обязательно есть окружность, описанная вокруг. --- ### Шаг 2: Связь между радиусом окружности и сторонами трапеции Аналитическое решение подходит, если мы рассмотрим свойства трапеции и тиграм её романа. --- ### Шаг 3: Введение переменных и построение схемы Обозначим: - Верхнее основание: \( AB = 8 \), - Нижнее основание: \( CD = 6 \), - Высота: \( h \), - Боковые стороны: \( AD = BC = x \) (так как трапеция равнобедренная, боковые стороны равны). Обозначим координаты на плоскости для удобства. ### Шаг 4: Определение координат Пусть середина верхнего основания — точка \( M \), а центр нижнего — \( N \). - Верхнее основание: \( A = (-4, 0) \), \( B = (4, 0) \), - Нижнее основание: \( C = (-3, h) \), \( D = (3, h) \). Обратите внимание, что длина основания: \( AB = 8 \), и \( CD = 6 \). Проверим, что \( C \) и \( D \) расположены так, чтобы длина \( CD = 6 \): - \( C = (-3, h) \), - \( D = (3, h) \), - Тогда \( CD = |3 - (-3)| = 6 \). Это соответствует условию. Боковые стороны: - \( AD = \sqrt{(3 + 4)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{7^2 + h^2} = \sqrt{49 + h^2} \), - \( BC = \sqrt{(4 - (-3))^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{7^2 + h^2} = \sqrt{49 + h^2} \). Действительно, боковые стороны равны. Обозначим \( x = \sqrt{49 + h^2} \). --- ### Шаг 5: Использование радиуса описанной окружности Радиус \( R = 5 \). Центр окружности — точка \( O \). Она проходит через все вершины: \( A, B, C, D \). Рассмотрим, что окружность описана, и найдем её центр. Поскольку трапеция равнобедренна, центр окружности совпадает с пересечением биссектрис — по оси симметрии. Это хорошая идея для нахождения центра. Обозначим \( O = (0, y_0) \). Рассмотрим, что точки \( A, B, C, D \) лежат на окружности радиуса 5. Значит, выполняется: \[ OA = OB = OC = OD = 5 \] Расстояния от \( O \) до вершин: - \( OA: \sqrt{(-4 - 0)^2 + (0 - y_0)^2} = \sqrt{16 + (0 - y_0)^2} \), - \( OB: \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - y_0)^2} = \sqrt{16 + (0 - y_0)^2} \), - \( OC: \sqrt{(-3 - 0)^2 + (h - y_0)^2} = \sqrt{9 + (h - y_0)^2} \), - \( OD: \sqrt{(3 - 0)^2 + (h - y_0)^2} = \sqrt{9 + (h - y_0)^2} \). Из этого следует, что: \[ OA = OB = \sqrt{16 + (0 - y_0)^2} \] и \[ OC = OD = \sqrt{9 + (h - y_0)^2} \] Поскольку радиус одинаков, получаем: \[ \sqrt{16 + y_0^2} = \sqrt{9 + (h - y_0)^2} \] Возведем обе части в квадрат: \[ 16 + y_0^2 = 9 + (h - y_0)^2 \] Развернём: \[ 16 + y_0^2 = 9 + h^2 - 2h y_0 + y_0^2 \] Упростим: \[ 16 = 9 + h^2 - 2h y_0 \] \[ 16 - 9 = h^2 - 2h y_0 \] \[ 7 = h^2 - 2h y_0 \] Выразим \( y_0 \): \[ 2h y_0 = h^2 - 7 \] \[ y_0 = \frac{h^2 - 7}{2h} \] --- ### Шаг 6: Вычисление радиуса через центр окружности и любую вершину Радіус \( R = 5 \) — мы уже знаем. Воспользуемся одним из расстояний, например, \( OA \): \[ OA = 5 = \sqrt{16 + y_0^2} \] Подставим \( y_0 \): \[ 25 = 16 + y_0^2 \] \[ y_0^2 = 25 - 16 = 9 \] Следовательно: \[ y_0 = \pm 3 \] Рассмотрим оба варианта, но по симметрии лучше выбрать положительный \( y_0 \): \[ y_0 = 3 \] Теперь используем выражение \( y_0 \): \[ 3 = \frac{h^2 - 7}{2h} \] Умножим обе части на \( 2h \): \[ 6h = h^2 - 7 \] Перенесем все в одну сторону: \[ h^2 - 6h - 7=0 \] Это квадратное уравнение относительно \( h \). --- ### Шаг 7: Решение квадратичного уравнения Рассмотрим: \[ h^2 - 6h - 7=0 \] Дискриминант: \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \] Корни: \[ h = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2} \] Варианты: 1. \( h = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7 \), 2. \( h= \frac{6 -8}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \). Высота не может быть отрицательной, значит: \[ h=7 \] --- ### **Ответ:** **Высота трапеции равна \(\boxed{7}\).**