решить уравнение : корень квадратный из x в квадрате+4=x+2

Конечно! Давайте разберем это уравнение по шагам и подробно объясним каждое действие.

Задание: Решить уравнение \[ \sqrt{x^2 + 4} = x + 2 \]

Шаг 1: Определим область допустимых значений

Так как у нас есть корень, то выражение под корнем должно быть неотрицательным: \[ x^2 + 4 \geq 0 \] Это всегда верно, потому что \(x^2 \geq 0\), а значит \(x^2 + 4 > 0\) для любого real-числа \(x\). Также, левая часть — это корень, он всегда неотрицателен.

Правая часть — \(x + 2\). Для равенства \( \sqrt{x^2 + 4} = x + 2 \) необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной, поскольку левая — неотрицательное число.

Поэтому: \[ x + 2 \geq 0 \] \[ x \geq -2 \]

Область возможных решений: \(x \geq -2\).

Шаг 2: Возводим обе части в квадрат

Чтобы избавиться от корня: \[ \sqrt{x^2 + 4} = x + 2 \implies (\sqrt{x^2 + 4})^2 = (x + 2)^2 \] \[ x^2 + 4 = (x + 2)^2 \]

Раскроем квадрат правой части: \[ x^2 + 4 = x^2 + 4x + 4 \]

Шаг 3: Решим полученное уравнение

Вычтем \(x^2\) из обеих частей: \[ x^2 + 4 - x^2 = 4x + 4 - x^2 \] Или просто: \[ x^2 + 4 = x^2 + 4x + 4 \]

Поступим проще: вычтем \(x^2 + 4\) из обеих частей: \[ 0 = 4x \] \[ x = 0 \]

Шаг 4: Проверка полученного решения

Теперь подставим \(x=0\) в исходное уравнение: \[ \sqrt{0^2 + 4} = 0 + 2 \] \[ \sqrt{4} = 2 \] \[ 2 = 2 \]

Верно! Значит, \(x=0\) — решение уравнения.

Проверим, удовлетворяет ли оно условию области — \(x \geq -2\). Да, \(0 \geq -2\).

Шаг 5: Проверка возможных дополнительных решений

Обычно при возведении в квадрат возможны „ложные“ решения, поэтому нужно проверить их подставкой.

Рассмотрим, есть ли еще решения, полученные при решении уравнения:

Изначальное уравнение: \[ \sqrt{x^2 + 4} = x + 2 \] при \(x \geq -2\). Мы получили единственное решение — \(x=0\).

Ответ:
Решение уравнения: \(\boxed{x=0}\).

Если есть уточнения или нужно более подробное объяснение, скажите!