Реши
Давайте подробно решим каждую из поставленных задач.
Задача 1
Решите графически систему уравнений:
\[
\begin{cases}
y = x - 3 \\
0.5x + y = 3
\end{cases}
\]
Шаг 1: Построим график первой функции \( y = x - 3 \).
Это прямая с наклоном 1 и по вертикали смещена вниз на 3.
Шаг 2: Построим график второй функции \( 0.5x + y = 3 \) или \( y = 3 - 0.5x \).
Это тоже прямая, с наклоном -0.5 и с вертикальным смещением на 3.
Шаг 3: Найдём точку пересечения графиков — это решение системы.
Для этого найдём \( x \), приравняв \( y \):
\[ x - 3 = 3 - 0.5x \]
Решаем уравнение:
\[ x - 3 = 3 - 0.5x \\ x + 0.5x = 3 + 3 \\ 1.5x = 6 \\ x = \frac{6}{1.5} = 4 \]
Теперь найдём \( y \):
\[ y = x - 3 = 4 - 3 = 1 \]
Ответ: решение системы — точка \((4, 1)\).
Задача 2
Решите графически систему:
\[
\begin{cases}
y = x + 5 \\
0.5x + y = 2
\end{cases}
\]
Шаг 1: Построим первую прямую \( y = x + 5 \).
Шаг 2: Построим вторую \( y = 2 - 0.5x \).
Шаг 3: Определим точку пересечения, приравняв \( y \):
\[ x + 5 = 2 - 0.5x \]
Решаем уравнение:
\[ x + 0.5x = 2 - 5 \\ 1.5x = -3 \\ x = \frac{-3}{1.5} = -2 \]
Найдем \( y \):
\[ y = -2 + 5 = 3 \]
Ответ: решение — \( (-2, 3) \).
Задача 3
Решите методом подстановки систему:
\[ \begin{cases} x - 5y = 8 \\ 2x + 4y = 30 \end{cases} \]
Шаг 1: Из первого уравнения выразим \( x \):
\[ x = 8 + 5y \]
Шаг 2: Подставим \( x \) во второе уравнение:
\[ 2(8 + 5y) + 4y = 30 \]
Раскрываем скобки:
\[ 16 + 10y + 4y = 30 \\ 16 + 14y = 30 \]
Решаем для \( y \):
\[ 14y = 30 - 16 = 14 \\ y = 1 \]
Подставляем обратно в выражение для \( x \):
\[ x = 8 + 5 \times 1 = 8 + 5 = 13 \]
Ответ: \( (x, y) = (13, 1) \).
Задача 4
Решите методом подстановки систему:
\[ \begin{cases} 3x - 4y = 2 \\ 5x - 6y = 7 \end{cases} \]
Шаг 1: Выразим \( x \) из первого уравнения:
\[ 3x = 2 + 4y \Rightarrow x = \frac{2 + 4y}{3} \]
Шаг 2: Подставим \( x \) в второе уравнение:
\[ 5 \times \frac{2 + 4y}{3} - 6y = 7 \]
Умножим обе стороны на 3 для избавления от дроби:
\[ 5(2 + 4y) - 18y = 21 \]
Раскроем скобки:
\[ 10 + 20y - 18y = 21 \]
Объединим подобные:
\[ 10 + 2y = 21 \]
Решим для \( y \):
\[ 2y = 21 - 10 = 11 \\ y = \frac{11}{2} = 5.5 \]
Подставим \( y \) обратно для нахождения \( x \):
\[ x = \frac{2 + 4 \times 5.5}{3} = \frac{2 + 22}{3} = \frac{24}{3} = 8 \]
Ответ: \( (8, 5.5) \).
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно решение других задач, пишите!
