Из точки не лежащей на окружности проведены к ней касательная и секущая. расстояние от точки а до наиболее удаленной от нее точки пересечения секущей с окружностью равно 32 найдите расстояние от точки а до точки касания касательной если ралиус окружности равен 13 а секущая удалена от центра окружности на 5 см

Давайте разберёмся с задачей пошагово и подробно. **Дано:** - Точка \(A\) не лежит на окружности. - Проведены к окружности касательная и секущая, исходящие из точки \(A\). - Радиус окружности \(R = 13\). - Расстояние от точки \(A\) до наиболее удалённой от неё точки пересечения секущей с окружностью равно 32. - Расстояние от центра окружности \(O\) до секущей = 5 (секущая удалена от центра на 5). - Нужно найти расстояние от точки \(A\) до точки касания касательной с окружностью. --- ### Шаг 1. Вводные обозначения Обозначим: - \(A\) — точка вне окружности. - \(O\) — центр окружности. - \(r = 13\) — радиус окружности. - \(d = |AO|\) — расстояние от точки \(A\) до центра окружности. - Секущая из точки \(A\) пересекает окружность в точках \(P\) и \(Q\). - Точка касания касательной — \(T\). --- ### Шаг 2. Анализ секущей Известно, что секущая \(A P Q\) касается окружности в точке \(T\), и что расстояние от \(A\) до наиболее удалённой точки \(P\) или \(Q\) равно 32: \[ \max \{AP, AQ\} = 32 \] Поскольку точка \(A\) связана с секущей, и секущая пересекает окружность, то: \[ AP = AQ \] Если \(A P Q\) — секущая, то точки \(P\) и \(Q\) — пересечения с окружностью. Важное свойство: для секущей \(AB\), если точка \(A\) не лежит на окружности, то: \[ AP = AQ = \text{удалённые точки пересечения} \] Это значит, что: \[ AP = AQ = \text{растояние от }A\text{ до }P,\ Q \] И из условий: расстояние от \(A\) до наиболее удалённой точки \(P\) или \(Q\) равно 32. Значит: \[ AP = AQ = 32 \] --- ### Шаг 3. Связь секущей с центром окружности Рассмотрим треугольник \(O A P\): \[ |OP| = R = 13 \] Очевидно, что \(A P\) — расстояние от точки \(A\) до точки на окружности. Известно, что секущая из точки \(A\) пересекает окружность, и расстояние \(A P\) до точки пересечения равно 32. Тогда: \[ AP = 32 \] Также существует важное геометрическое свойство: \[ AO^2 = AP \times AQ \] где \(AQ\) — это длина секущей, пройденной через две точки на окружности, т.е. длина сегмента \(A P\) и \(A Q\). В случае, если точки \(P, Q\) — пересечения секущей с окружностью, а \(\angle P A Q\) — угол между ними, то существует теорема: \[ |AO|^2 = AP \times AQ \] Но у нас \(AP = AQ = 32\), значит: \[ |AO|^2 = 32 \times 32 = 1024 \] \[ |AO| = \sqrt{1024} = 32 \] Следовательно: \[ d = AO = 32 \] --- ### Шаг 4. Установим дальнейшие связи Теперь у нас есть: - Расстояние от \(A\) до центра \(O\): \(d=32\). - Радиус окружности: \(R=13\). - Расстояние от \(O\) до секущей — 5: это условие о положении секущей относительно центра. Так как секущая стоит на расстоянии 5 от центра, то она задаётся уравнением: \[ |d_{\text{секущая}}| = 5 \] где \(d_{\text{секущая}}\) — минимальное расстояние от центра до секущей. --- ### Шаг 5. Связь между секущей, точкой \(A\) и радиусом Рассмотрим отрезок \(AO\) — расстояние от точки \(A\) до \(O\). **Что еще важно?** Нам нужно найти расстояние от точки \(A\) до точки касания касательной \(T\). Касательная из точки \(A\) к окружности образует угол \( \theta \), где: \[ AT \perp OT \] и по свойствам касательной и окружности: \[ |AT|^2 = |AO|^{2} - R^{2} \] так как от точки \(A\) падает касательная к окружности (вычисляем по теореме о касательной): \[ |AT| = \sqrt{|AO|^{2} - R^{2}} \] подставим значения: \[ |AT| = \sqrt{32^2 - 13^2} = \sqrt{1024 - 169} = \sqrt{855} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ |AT| = \sqrt{855} } \] Это примерно: \[ \sqrt{855} \approx 29.24 \] --- ## Итог: **Расстояние от точки \(A\) до точки касания касательной с окружностью — \( \sqrt{855} \approx 29.24 \).**