из точки не лежащей на окружности проведены к ней касательная и секущая. расстояние от точки а до наиболее удаленной от нее точки пересечения секущей с окружностью равно 32…

Давайте разберёмся с задачей пошагово и подробно.

Дано:

• Точка \(A\) не лежит на окружности.
• Проведены к окружности касательная и секущая, исходящие из точки \(A\).
• Радиус окружности \(R = 13\).
• Расстояние от точки \(A\) до наиболее удалённой от неё точки пересечения секущей с окружностью равно 32.
• Расстояние от центра окружности \(O\) до секущей = 5 (секущая удалена от центра на 5).
• Нужно найти расстояние от точки \(A\) до точки касания касательной с окружностью.

---

Шаг 1. Вводные обозначения

Обозначим:

• \(A\) — точка вне окружности.
• \(O\) — центр окружности.
• \(r = 13\) — радиус окружности.
• \(d = |AO|\) — расстояние от точки \(A\) до центра окружности.
• Секущая из точки \(A\) пересекает окружность в точках \(P\) и \(Q\).
• Точка касания касательной — \(T\).

---

Шаг 2. Анализ секущей

Известно, что секущая \(A P Q\) касается окружности в точке \(T\), и что расстояние от \(A\) до наиболее удалённой точки \(P\) или \(Q\) равно 32:

\[ \max \{AP, AQ\} = 32 \]

Поскольку точка \(A\) связана с секущей, и секущая пересекает окружность, то:

\[ AP = AQ \]

Если \(A P Q\) — секущая, то точки \(P\) и \(Q\) — пересечения с окружностью. Важное свойство: для секущей \(AB\), если точка \(A\) не лежит на окружности, то:

\[ AP = AQ = \text{удалённые точки пересечения} \]

Это значит, что:

\[ AP = AQ = \text{растояние от }A\text{ до }P,\ Q \]

И из условий: расстояние от \(A\) до наиболее удалённой точки \(P\) или \(Q\) равно 32. Значит:

\[ AP = AQ = 32 \]

---

Шаг 3. Связь секущей с центром окружности

Рассмотрим треугольник \(O A P\):

\[ |OP| = R = 13 \]

Очевидно, что \(A P\) — расстояние от точки \(A\) до точки на окружности.

Известно, что секущая из точки \(A\) пересекает окружность, и расстояние \(A P\) до точки пересечения равно 32. Тогда:

\[ AP = 32 \]

Также существует важное геометрическое свойство:

\[ AO^2 = AP \times AQ \]

где \(AQ\) — это длина секущей, пройденной через две точки на окружности, т.е. длина сегмента \(A P\) и \(A Q\). В случае, если точки \(P, Q\) — пересечения секущей с окружностью, а \(\angle P A Q\) — угол между ними, то существует теорема:

\[ |AO|^2 = AP \times AQ \]

Но у нас \(AP = AQ = 32\), значит:

\[ |AO|^2 = 32 \times 32 = 1024 \] \[ |AO| = \sqrt{1024} = 32 \]

Следовательно:

\[ d = AO = 32 \]

---

Шаг 4. Установим дальнейшие связи

Теперь у нас есть:

• Расстояние от \(A\) до центра \(O\): \(d=32\).
• Радиус окружности: \(R=13\).
• Расстояние от \(O\) до секущей — 5: это условие о положении секущей относительно центра.

Так как секущая стоит на расстоянии 5 от центра, то она задаётся уравнением:

\[ |d_{\text{секущая}}| = 5 \]

где \(d_{\text{секущая}}\) — минимальное расстояние от центра до секущей.

---

Шаг 5. Связь между секущей, точкой \(A\) и радиусом

Рассмотрим отрезок \(AO\) — расстояние от точки \(A\) до \(O\).

Что еще важно?
Нам нужно найти расстояние от точки \(A\) до точки касания касательной \(T\).

Касательная из точки \(A\) к окружности образует угол \( \theta \), где:

\[ AT \perp OT \]

и по свойствам касательной и окружности:

\[ |AT|^2 = |AO|^{2} - R^{2} \]

так как от точки \(A\) падает касательная к окружности (вычисляем по теореме о касательной):

\[ |AT| = \sqrt{|AO|^{2} - R^{2}} \]

подставим значения:

\[ |AT| = \sqrt{32^2 - 13^2} = \sqrt{1024 - 169} = \sqrt{855} \]

---

Ответ:

\[ \boxed{ |AT| = \sqrt{855} } \]

Это примерно:

\[ \sqrt{855} \approx 29.24 \]

---

Итог:

Расстояние от точки \(A\) до точки касания касательной с окружностью — \( \sqrt{855} \approx 29.24 \).